2.6.3函数的最值分层练习-2023-2024学年高二数学同步精品课堂（北师大版2019选择性必修第二册）（解析版）_1.docx

2.6.3函数的最值分层练习

考点01：函数最值与极值的关系辨析

1．判断正误（正确的写正确，错误的写错误）

（1）函数的最大值不一定是函数的极大值．()

（2）函数在区间上的最大值与最小值一定在区间端点处取得．()

（3）有极值的函数一定有最值，有最值的函数不一定有极值．()

（4）若函数有两个最值，则它们的和大于零．()

【答案】正确错误错误错误

【分析】利用极值与最值的关系判断（1）；举反例否定（2）,（3）,（4）.

【详解】（1）函数的最大值不一定是函数的极大值，可能是在区间端点处取得.判断正确；

（2）函数在区间上的最大值与最小值不一定在区间端点处取得，可能函数的极值．判断错误；

（3）函数在区间上有极大值，但没有最小值.判断错误；

（4）函数在区间上最大值为0，最小值为，二者之和为小于0.判断错误.

故答案为：正确；错误；错误；错误

2．函数的导函数的图象如图所示，则（????）

A．是函数的极大值点

B．在区间上单调递增

C．是函数的最小值点

D．在处切线的斜率小于零

【答案】B

【分析】根据导函数图象可判定导函数的符号，从而确定函数的单调性，得到极值点、最值点、切线斜率的正负．

【详解】根据导函数图象可知：当时，，在时，

函数在上单调递减，在上单调递增，是函数的极小值点，故A错误，B正确；

∴在上单调递增，不是函数的最小值点，故C不正确；

∴函数在处的导数大于，切线的斜率大于零，故D不正确.

故选：B

3．（多选）下列关于极值点的说法正确的是（????）

A．若函数既有极大值又有极小值，则该极大值一定大于极小值

B．在任意给定区间上必存在最小值

C．的最大值就是该函数的极大值

D．定义在上的函数可能没有极值点，也可能存在无数个极值点

【答案】BCD

【分析】A选项可以举出反例，C选项，可以结合函数的单调性，判断出正确；D选项可以举出例子，B选项，从函数的连续性上来进行解决.

【详解】A选项，例如，在处取得极小值，在处取得极大值，而，故极大值不一定大于极小值，A错误，

C选项，，

函数在上单调递增，在上单调递减，

根据极值的定义可知：在处取得极大值，也是最大值，C正确；

对于D，无极值点，有无数个极值点，D正确；

在R上为连续函数，因为连续函数在闭区间上必定存在最值，所以B正确；

故选：BCD．

考点02：由导数求函数的最值(不含参)

4．函数在区间上的（????）

A．最小值为0，最大值为

B．最小值为0，最大值为

C．最小值为，最大值为

D．最小值为0，最大值为2

【答案】B

【分析】先求得函数的导数，进而得到在区间上单调性，即可求得在区间上最小值和最大值.

【详解】，所以在区间上单调递增，

因此的最小值为，最大值为.

故选：B

5．函数在区间上的最大值为.

【答案】/

【分析】利用函数的导数判断函数的单调性，然后求解函数的最值即可．

【详解】函数，可得，

可知恒成立，所以函数在区间上是增函数，

所以，时，函数取得最大值：．

故答案为：

6．已知函数．

(1)求的图像在点处的切线方程；

(2)求在上的值域．

【答案】(1)；

(2)．

【分析】（1）把点代入函数解析式，得切点坐标，通过求导，得到切线的斜率，根据直线的点斜式方程，求切线方程．

（2）解不等式，得函数增区间，解不等式，得函数减区间，结合，确定函数单调性，求得最值，进而得出在上的值域．

【详解】（1）因为，所以，所以，，

故所求切线方程为，即．

（2）由（1）知，．

令，得；令，得．

所以在上单调递减，在上单调递增，

所以．

又，，

因为，

所以，即在上的值域为．

考点03：已知函数最值求参数

7．已知函数的最小值为0，则实数a的值为．

【答案】1

【分析】利用导数研究的单调性和最值，根据最小值求得的值.

【详解】的定义域为，

，

当时，，在区间上递增，没有最小值.

当时，在区间递减；在区间递增.

所以在区间上的最小值为.

故答案为：

8．已知函数在上的最大值为2，则．

【答案】1

【分析】先求导可知原函数在上单调递增，求出参数后即可求出.

【详解】解：在上

在上单调递增，且当取得最大值

，可知

故答案为：1

9．已知函数.

(1)求函数f(x)的单调区间；

(2)若f(x)≥0对定义域内的任意x恒成立，求实数a的取值范围.

【答案】(1)答案见解析

(2)

【分析】（1）求导数，然后对进行分类讨论，利用导数的正负，可得函数的单调区间；

（2）利用（1）中函数的单调性，求得函数在处取得最小值，即可求实数的取值范围.

【详解】（1）解：求导可得

①时，令可得，由于知；令，得

∴函数在上单调递减，在上单调递增；

②