北师版高考文科数学一轮总复习课后习题 第7章 不等式、推理与证明 课时规范练33 基本不等式 (2).docVIP

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课时规范练33基本不等式

基础巩固组

1.(福建厦门双十中学高三开学考试)函数y=ex+e-x(x∈R)的最小值是()

A.1 B.2 C.3 D.4

答案:B

解析:因为ex0,e-x0,所以y=ex+e-x≥2ex·e-x=2,当且仅当ex=e-x,即x=0时,取等号,所以函数y=ex

2.(山东龙口模拟)已知函数y=x+4x

A.42 B.42+1 C.5 D.9

答案:C

解析:因为x1,所以y=x+4x-1=(x-1)+4x-

3.(江苏扬州高邮中学高三月考)设x0,则y=3-3x-1x

A.3 B.3-32 C.3-23 D.-1

答案:C

解析:∵x0,∴y=3-3x-1x≤3-23x·1x=3-23,当且仅当3x=

4.(四川宜宾诊断测试)已知正实数x,y满足xy=2,则x+y的最小值是()

A.3 B.22 C.2 D.

答案:B

解析:由基本不等式可得x+y≥2xy=22,当且仅当x=y=2时,等号成立.

因此x+y的最小值是22

5.(福建福清西山学校高三月考)中国宋代的数学家秦九韶曾提出“三斜求积术”,即假设在平面内有一个三角形,边长分别为a,b,c,三角形的面积S可由公式S=p(

A.10 B.12 C.14 D.16

答案:B

解析:由题意,a+b=10,c=6,p=a+b+c2

所以S=8(

6.(河南信阳高中检测)已知函数f(x)=me,n,不等式1m

A.9 B.3+22 C.7 D.42

答案:A

解析:由函数的图像过定点(2,1),可得m+n=1,又因为m0,n0,

所以1m+4n=(m+n)×1m+4n=5+nm

7.(山西吕梁模拟)函数y=x2

A.[1,+∞) B.(-∞,1] C.(-∞,0] D.[0,+∞)

答案:D

解析:y=x2-4x+4x-

因为x1,所以x-10,所以y≥2(x-1

所以函数y=x2

8.(广东惠州一模)已知a,b∈R,若a-3b=2,则2a+18b的最小值为

答案:4

解析:2a+18b=2a+2-3b≥2×2

当且仅当2a=2-3b

9.(上海青浦二模)已知函数f(x)=3x+a3x+1的最小值为5

答案:16

解析:因为函数f(x)=3x+a3

因为3x+11,

所以f(x)=3x+a3x+1=3x+1+a3x

因为函数f(x)=3x+a3x+1

所以2a-1=53

解得a=169

10.(广西南宁三中高三月考)若x0,y0,xy=10,则2x+5

答案:2

解析:由x0,y0,xy=10,则2x+5

当且仅当x=2时取等号,即2x

11.(浙江绍兴一中高三期末)若实数a,b满足2a2+2b2=1,则1a2+

答案:6

解析:实数a,b满足2a2+2b2=1,即a2+b2=12,所以a2+(b2+1)=3

则1a2+4b2+1=23×[a2+(b2+1)]1a2+4b

当且仅当b2+1a2=

12.(广东广州模拟)若4xy0,则y4x-y

答案:5

解析:因为4xy0,

所以4x-y0,

则y4x-y+x

当且仅当4x-y=2y,即当3y=4x时,等号成立,

所以y4x-

综合提升组

13.(山东泰安一中模拟)若对任意x0,xx

A.15,+∞ B.15,+∞

C.-∞,15 D.-∞,15

答案:A

解析:由题意,有xx

当且仅当x=1x,即x=1时,等号成立,即xx2

又对任意x0,xx2+3x+1

即a的取值范围为15,+∞.

14.(四川广元模拟)新冠病毒疫情期间,某灾区物资紧缺,一批口罩、食物等救灾物资随41辆汽车从某市以vkm/h的速度匀速直达灾区.已知两地公路线长360km,为安全起见,两辆汽车的间距不得小于v2

A.70km/h B.80km/h C.90km/h D.100km/h

答案:C

解析:由题意,第一辆汽车到达用360v

最后一辆汽车到达的时间为360+40×v2900

要使这批物资尽快全部到达灾区,即就是最后一辆汽车到达的时间最短,

即求360v+2v45最小时汽车的速度,360v

15.(山东滨州一模)已知a0,b0,向量m=(a+2b,-9),n=(8,ab),若m⊥n,则2a+b的最小值为()

A.9 B.8 C.5

答案:B

解析:由题意m·n=8(a+2b)-9ab=0,

又a0,b0,所以8(

所以2a+b=8(a+2b)(2a+b)9ab

当且仅当ba=a

所以2a+b的最小值为8.

16.(云南昆明模拟)若正实数a,b满足a+b=ab,则a+ba+64

答案:15

解析:由题设知1+ba=b,即b

∴a+ba+64ab=a+b-1+

当且仅当a+b=ab=8时,等号成立.故a+ba

创新应用组

17.(江苏扬中高三开学