人教A版高中数学（选择性必修第一册）同步讲义+题型讲解第03讲 1.3 空间向量及其运算的坐标表示（原卷版）.docVIP

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1.3空间向量及其运算的坐标表示

课程标准

学习目标

①理解和掌握空间向量的坐标表示及意义

②会用向量的坐标表达空间向量的相关运算

③会求空间向量的夹角、长度以及有关平行、垂直的证明

利用空间向量的坐标表示，将形与数有机结合，并能进行相关的计算与证明是学习空间向量及运算的关键.也是解决空间几何的重要手段与工具.

知识点01：空间向量的正交分解及其坐标表示

1、空间直角坐标系

空间直角坐标系及相关概念

(1)空间直角坐标系：在空间选定一点SKIPIF10和一个单位正交基底SKIPIF10，以SKIPIF10为原点，分别以SKIPIF10的方向为正方向，以它们的长为单位长度建立三条数轴：SKIPIF10轴、SKIPIF10轴、SKIPIF10轴，它们都叫做坐标轴，这时我们就建立了一个空间直角坐标系SKIPIF10.

(2)相关概念：SKIPIF10叫做原点，SKIPIF10都叫做坐标向量，通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为SKIPIF10平面、SKIPIF10平面、SKIPIF10平面，它们把空间分成八个部分．

2、空间向量的坐标表示

2.1空间一点的坐标：在空间直角坐标系SKIPIF10中，SKIPIF10为坐标向量，对空间任意一点SKIPIF10，对应一个向量SKIPIF10，且点SKIPIF10的位置由向量SKIPIF10唯一确定，由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组SKIPIF10，使SKIPIF10.在单位正交基底SKIPIF10下与向量SKIPIF10对应的有序实数组SKIPIF10叫做点SKIPIF10在此空间直角坐标系中的坐标，记作SKIPIF10，其中SKIPIF10叫做点SKIPIF10的横坐标，SKIPIF10叫做点SKIPIF10的纵坐标，SKIPIF10叫做点SKIPIF10的竖坐标．

2.2空间向量的坐标：在空间直角坐标系SKIPIF10中，给定向量SKIPIF10，作SKIPIF10.由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组SKIPIF10，使SKIPIF10.有序实数组SKIPIF10叫做SKIPIF10在空间直角坐标系SKIPIF10中的坐标，上式可简记作SKIPIF10.

【即学即练1】已知SKIPIF10是空间的一个单位正交基底，向量SKIPIF10用坐标形式可表示为________．

知识点02：空间向量运算的坐标表示

设SKIPIF10，空间向量的坐标运算法则如下表所示：

运算

坐标表示

加法

SKIPIF10

减法

SKIPIF10

数乘

SKIPIF10

数量积

SKIPIF10

知识点03：空间向量平行与垂直的条件，几何计算的坐标表示

1、两个向量的平行与垂直

SKIPIF10

平行（SKIPIF10）

SKIPIF10SKIPIF10

垂直（SKIPIF10）

SKIPIF10SKIPIF10（SKIPIF10均非零向量）

特别提醒：在SKIPIF10