人教A版高中数学（选择性必修第一册）同步讲义+题型讲解第07讲 拓展二：直线与平面所成角的传统法与向量法（原卷版）.docVIP

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拓展二：直线与平面所成角的传统法与向量法

(含探索性问题）

一、知识点归纳

知识点一：直线与平面所成角

1、斜线在平面上的射影：过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线，过垂足及斜足的直线叫做斜线在平面内的射影.

注意：斜线上任意一点在平面上的射影一定在斜线的射影上.

如图，直线SKIPIF10是平面SKIPIF10的一条斜线，斜足为SKIPIF10，斜线上一点SKIPIF10在平面SKIPIF10上的射影为SKIPIF10，则直线SKIPIF10是斜线SKIPIF10在平面SKIPIF10上的射影.

2、直线和平面所成角：（有三种情况）

（1）平面的斜线与它在平面内的射影所成的锐角，叫这条直线与这个平面所成的角。由定义可知：斜线与平面所成角的范围为SKIPIF10；

（2）直线与平面垂直时，它们的所成角为SKIPIF10；

（3）直线与平面平行（或直线在平面内）时，它们的所成角为0.

结论：直线与平面所成角的范围为SKIPIF10.

3、传统法之定义法（如右图）：具体操作方法：

①在直线SKIPIF10上任取一点SKIPIF10（通常都是取特殊点），向平面SKIPIF10引（通常都是找+证明）垂线SKIPIF10；

②连接斜足与垂足SKIPIF10；

③则斜线SKIPIF10与射影SKIPIF10所成的角SKIPIF10，就是直线与平面所成角.

4、传统法之等体积法求垂线段法(如右图）

①利用等体积法求垂线段SKIPIF10的长；

②SKIPIF10

5、利用向量法求线面角

设直线SKIPIF10的方向向量为SKIPIF10，平面SKIPIF10的法向量为SKIPIF10，直线与平面所成的角为SKIPIF10，SKIPIF10与SKIPIF10的角为SKIPIF10，则有

①SKIPIF10

②SKIPIF10.（注意此公式中最后的形式是：SKIPIF10）

二、题型精讲

题型01求直线与平面所成角（定值）（传统法）

【典例1】在长方体SKIPIF10中，SKIPIF10，则SKIPIF10与平面SKIPIF10所成的正弦值为（????）

A．SKIPIF10 B．SKIPIF10 C．SKIPIF10 D．SKIPIF10

【典例2】在正方体SKIPIF10中，SKIPIF10为棱SKIPIF10的中点，则SKIPIF10与平面SKIPIF10所成角的正切值为__________.

【典例3】如图，在四棱锥SKIPIF10中，SKIPIF10是边长为4的正方形SKIPIF10的中心，SKIPIF10平面SKIPIF10，SKIPIF10，SKIPIF10分别为SKIPIF10，SKIPIF10的中点．

(1)求证：平面SKIPIF10平面SKIPIF10；

(2)若SKIPIF10，求点SKIPIF10到平面SKIPIF10