18.2.2菱形的性质与判定(精讲)-【重要笔记】2021-2022学年八年级数学下学期重要考点精讲精练(人教版)(原卷版+解析).docxVIP

18.2.2菱形的性质与判定

菱形的定义

有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.

注意：菱形的定义的两个要素：①是平行四边形.②有一组邻边相等.即菱形是一个平行四边形，然后增加一对邻边相等这个特殊条件.

题型1：菱形的定义

1.在?ABCD中，添加以下哪个条件能判断其为菱形（）

A．AB⊥BC B．BC⊥CD C．CD⊥AC D．AC⊥BD

【变式1-1】在四边形ABCD中，对角线AC，BD互相平分，要使四边形ABCD为菱形，需添加的条件是（）

A．∠A＝∠C B．AB⊥BC C．AC⊥BD D．AC＝BD

【变式1-2】下列条件中，不能判定一个四边形是菱形的是（）

A．一组邻边相等的平行四边形

B．一条对角线平分一组对角的四边形

C．四条边都相等的四边形

D．对角线互相垂直平分的四边形

菱形的性质

菱形除了具有平行四边形的一切性质外，还有一些特殊性质：

1.菱形的四条边都相等；

2.菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角.

3.菱形也是轴对称图形，有两条对称轴（对角线所在的直线），对称轴的交点就是对称中心.

注意：（1）菱形是特殊的平行四边形，是中心对称图形，过中心的任意直线可将菱形分成完全全等的两部分.

（2）菱形的面积有两种计算方法：一种是平行四边形的面积公式：底×高；另一种是两条对角线乘积的一半（即四个小直角三角形面积之和）.实际上，任何一个对角线互相垂直的四边形的面积都是两条对角线乘积的一半.

（3）菱形可以用来证明线段相等，角相等，直线平行，垂直及有关计算问题.

题型2：菱形的性质求长度

2.如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝60°，连接AC，BD，若BD＝8，则AC的长为（）

A． B．8 C． D．16

【变式2-1】如图，菱形ABCD的对角线AC、BD的长分别为6和8，O为AC、BD的交点，H为AD上的中点，则OH的长度为（）

A．3 B．4 C．2.5 D．5

【变式2-2】如图，菱形ABCD的周长是16，∠BAD＝60°，则AC的长为．

【变式2-3】如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的顶点O（0，0），A（4，0），∠AOC＝60°，则顶点B的坐标为．

题型3：菱形的性质求角度

3.已知菱形ABCD中，∠D＝150°，连接AC，则∠BAC等于（）

A．10° B．15° C．20° D．25°

【变式3-1】如图，在菱形ABCD中，点E在BC上，且AE＝AD，∠EAD＝2∠BAE，求∠BAE的度数．

【变式3-2】如图，在正五边形ABCDE的内部作菱形ABCF，则∠FAE的度数为（）

A．30° B．32° C．36° D．40°

题型4：菱形的性质与等面积法

4.如图，四边形ABCD是菱形，AC＝8，DB＝6，DH⊥AB于H，则DH＝（）

A． B． C．4 D．8

【变式4-1】如图，菱形ABCD中，AC＝6，BD＝8，AH⊥BC于点H，则AH＝（）

A．24 B．10 C． D．

【变式4-2】已知：如图所示，菱形ABCD中，DE⊥AB于点E，且E为AB的中点，已知BD＝4，求菱形ABCD的周长和面积．

题型5：菱形的性质简单综合

5.如图，在菱形ABCD中，DE⊥AB，垂足为点E，且E为边AB的中点．

（1）求∠A的度数；

（2）如果AB＝4，求对角线AC的长．

【变式5-1】如图，在菱形ABCD中，E、F分别是AB和BC上的点，且BE＝BF．

（1）求证：△ADE≌△CDF；

（2）若∠DEF＝65°，求∠EDB的度数．

菱形的判定

菱形的判定方法有三种：

1.定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形.

2.对角线互相垂直的平行四边形是菱形.

3.四条边相等的四边形是菱形.

注意：前两种方法都是在平行四边形的基础上外加一个条件来判定菱形，后一种方法是在四边形的基础上加上四条边相等.

题型6：菱形的判定（条件选择）

6.下列条件中，不能判定四边形ABCD为菱形的是（）

A．AC⊥BD，AC与BD互相平分 B．AB＝BC＝CD＝DA

C．AB＝BC，AD＝CD，AC⊥BD D．AB＝CD，AD＝BC，AC⊥BD

【变式6-1】如图所示，在?ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，下列条件能判定?ABCD为菱形的是（）

A．∠ABC＝90° B．AC＝BD

C．AC⊥BD D．OA＝OC，OB＝OD

【变式6-2】已知O为?ABCD对角线的交点，下列条件能使□ABCD成为菱形的是（）

A．AB＝BC B．AC＝BD

C．OA＝OC，OB＝OD D．∠A＝∠B＝∠C＝90°

题型7：菱形的判定（四边相等）

7.如图，△ABC中，AB＝AC，AD、CD分别是△ABC两个外角的平分线．

（1）求