24.1.4圆周角定理(7大题型)-【重要笔记】2022-2023学年九年级数学上册重要考点精讲精练(人教版)(原卷版+解析).docxVIP

24.1.4圆周角定理

圆周角定义：

像图中∠AEB、∠ADB、∠ACB这样的角，它们的顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角．

圆周角定理：

在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．

注意：(1)圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上；②角的两边都和圆相交.

(2)圆周角定理成立的前提条件是在同圆或等圆中.

题型1：圆周角定理求角度

1.1．如图，点A，B，C在⊙O上，∠ACB=35°，则∠AOB的度数是（）

A．75° B．70° C．65° D．55°

【变式1-1】如图，点A，B，C是⊙O上的三点，已知∠AOB=110°，那么∠ACB的度数是（）

A．40° B．45° C．50° D．55°

【变式1-2】如图，已知CD为⊙O的直径，过点D的弦DE平行于半径OA，若弧CE的度数是92°，则∠C的度数是（）

A．46° B．88° C．24° D．23°

题型2：圆周角定理的有关证明

2.已知A，B，C，D是⊙O上的四点，延长DC，AB相交于点E，若BC=BE．

求证：△ADE是等腰三角形．

【变式2-1】如图，在△ABC中，AC＝BC，以AB为直径的⊙O分别交AC，BC于点E，F.

求证：AE=

【变式2-2】如图，A、B、C、D四点共圆，且∠ACB＝∠ACD＝60°．求证：△ABD是等边三角形．

圆周角定理的推论：

推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等

推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．

题型3：推论1-同弧或等弧所对圆周角相等

3.如图，在⊙O中，AB＝AC，若∠B＝70°，则∠A等于（）

A．70° B．40° C．20° D．140°

【变式3-1】如图，AE是四边形ABCD外接圆⊙O的直径，AD=CD，∠B=50°，则∠DAE的度数为（）

A．50° B．55° C．60° D．65°

【变式3-2】如图，已知在⊙O中，AB=BC=CD，OC与

求证：（1）AD∥BC；

（2）四边形BCDE为菱形．

题型4：推论2-直径所对圆周角是90°

4.如图，AB是⊙O的直径．若∠BAC＝43°，那么∠ABC的度数是（）

A．43° B．47° C．53° D．57°

【变式4-1】如图，AB为⊙O的直径，∠BED＝20°，则∠ACD的度数为（）

A．80° B．75° C．70° D．65°

【变式4-2】如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，OD⊥AB交AC于点D．若∠A＝30°，OD＝2．求CD的长．

题型5：圆周角定理多结论问题

5.有下列说法：①直径是圆中最长的弦；②等弧所对的弦相等；③圆中90°的角所对的弦是直径；④相等的圆心角对的弧相等.其中正确的有（）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

【变式5-1】如图，AB是⊙O的直径，点P是⊙O上一个动点（点P不与点A，B重合），在点P运动的过程中，有如下四个结论：①至少存在一点P，使得PAAB；②若PB=2PA，则PB=2PA；③∠PAB不是直角；④

A．①③ B．③④ C．②③④ D．①②④

【变式5-2】如图，在⊙O中，AB、AC为互相垂直且相等的两条弦，则下列说法中正确的有（）

①点C、O、B一定在一条直线上；②若点E、点D分别是CA、AB的中点，则OE=OD；③若点E是CA的中点，连接CO，则△CEO是等腰直角三角形．

A．3个 B．2个 C．0个

圆内接四边形：

（1）定义:圆内接四边形：顶点都在圆上的四边形，叫圆内接四边形．

（2）性质：圆内接四边形对角互补，外角等于内对角（即它的一个外角等于它相邻内角的对角）．

题型6：圆内接四边形的性质

6.如图，点A，B，C在⊙O上，∠ACB=105°，则∠α=（）

A．150° B．130° C．105° D．75°

【变式6-1】如图，ABCD是⊙O的内接四边形，且∠ABC=125°，那么∠AOC等于（）

A．125° B．120° C．110° D．130°

【变式6-2】如图，四边形ABCD内接于⊙O，E为BC延长线上的一点，点C为BD的中点．若∠DCE＝110°，求∠BAC的度数．

题型7：圆周角定理综合

7.如图，已知⊙O是等腰△ABC的外接圆，且AB＝AC，点D是AB上一点，连结BD并延长至点E，连结AD，CD.

（1）求证：DA平分∠EDC.

（2）若∠EDA＝72°，求BC的度数.

【变式7-1】如图，O为半圆的圆心，C、D为半圆上的两点，连接CD、BD、AD，CD=BD.连接AC并延长，与BD的延长线相交于点E.

（1）求证：CD=DE；

（2）若AC=6，半径OB=5，求BD的长.