北师版高考数学一轮总复习课后习题 课时规范练23 利用导数研究不等式恒(能)成立问题.docVIP

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课时规范练23利用导数研究不等式恒(能)成立问题

1.(四川广安模拟)已知函数f(x)=lnx-2ax.

(1)讨论函数f(x)的单调性;

(2)若f(x)≤0恒成立,求实数a的取值范围.

2.(陕西西安联考)已知函数f(x)=lnx-ax-1x

(1)当a=2时,求f(x)的极值;

(2)若不等式f(x)≤-e-ax恒成立,求a的取值范围.

3.(江苏无锡模拟)已知函数f(x)=-x+lnx,g(x)=.

(1)求函数f(x)的极值点;

(2)若f(x)≤g(的取值范围.

4.(福建泉州模拟)已知函数f(≠0.

(1)当m=1时,求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程;

(2)若关于x的不等式f(x)≥2e的取值范围

课时规范练23利用导数研究不等式恒(能)成立问题

1.解(1)函数f(x)的定义域为(0,+∞),且f(x)=1x-2a=1

当a≤0时,f(x)=1-

当a0时,令f(x)=1-2axx=0,解得x=12a,当x

当x∈(12a,+∞

所以f(x)在(0,12a)内单调递增,在(12

综上,当a≤0时,f(x)在(0,+∞)上单调递增;当a0时,f(x)在(0,12a)内单调递增,在(12

(2)若f(x)≤0恒成立,则lnx-2ax≤0恒成立,又x0,所以2a≥ln

令g(ax.

又g(x)=1-

当x∈(0,e)时,g(x)0,g(x)单调递增,当x∈(e,+∞)时,g(x)0,g(ax=g(e)=1e,所以2a≥1e,解得a≥12e,即实数a的取值范围是

2.解(1)当a=2时,f(x)=lnx-2x-1x,则f(x)=1x

当x∈(0,1)时,f(x)0,f(x)单调递增,当x∈(1,+∞)时,f(x)0,f(x)单调递减,所以当x=1时,f(x)取得极大值f(1)=0-2-1=-3,故f(x)的极大值为-3,无极小值.

(2)由f(x)≤-e-ax,得lnx-ax-1x≤-e-ax,则lnx-1x≤ax-e-ax,即lnx-1

若令g(x)=lnx-1x,则g(x)≤g(eax

因为g(x)在(0,+∞)上单调递增,所以x≤eax,两边取对数得lnx≤ax,即lnx

令h(x)=lnxx,则h(x)=1-lnxx2,当x∈(0,e)时,h(x)0,h(x)单调递增,当x∈(e,+∞)时,h(x)0,h(ax=h(e)=1e

3.解(1)由已知可得,函数f(x)的定义域为(0,+∞),且f(x)=1-

(2)(方法一)设h(x)=f(x)-g(x)=ln,x∈(0,+∞),则h(x)=1x+1-(x+1)ex=(x+1)(1x-ex),令t(x)=1x-ex,x∈(0,+∞),则t(x)=-1x2-ex0对任意x∈

又t(12)=2-e0,t(1)=1-e0,所以存在x0∈(12,1),使得t(x0)=1x0-ex0=0,即1x

因此,当0xx0时,t(x)0,即h(x)0,则h(x)单调递增;当xx0时,t(x)0,即h(x)0,则h(a(0)=0,即ex≥x+1.

因为xex=ex+lnx,所以xex=ex+lnx≥x+lnx+1,当x+lnx=0时,等号成立,即xex-x-lnx≥1,当x+lnx=0时,等号成立,所以y=xex-x-lnx的最小值为1.

若f(x)≤g(x)恒成立,则≤1时,f(=1时,f(x)=x2-xlnx+1,f(x)=2x-lnx-1,f(1)=1,f(1)=2,所以切线方程为y-2=x-1,化简得x-y+1=0,即曲线f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为x-y+1=0.

(2)不等式f(xlnx+1≥2ex,即lnx-

令g(x)=lnx-2e,则g(x)=1-

对于y=2+40,故其必有两个零点,且两个零点的积为-1,所以两个零点一正一负,设其正零点为=x0-1x0,且当x∈(0,x-10,则g(x)0,g(x)单调递减;当x∈(x-10,则g(x)0,g(x)单调递增,因此当x=x0时,g(x)取得最小值g(x0)=x0+1x0-(x0-1x0)lnx0-2e,依题意应有x0+1x0-(x

令h(x)=x+1x-(x-1x)lnx-2e,则h(x)=1-1x2-(1+1x2)lnx-(1-1x2)=-(1+1x2)lnx,当x∈(0,1)时,h(x)0,当x∈(1,+∞)时,h(x)0,则h(x)在(0,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减,又h(1e)=h(e)=0,故=x-1x在[1e,e]上是关于∈[1