1.1.2空间向量基本定理（教学课件）-高中数学人教B版（2019）选择性必修第一册.pptxVIP

1.1.2空间向量基本定理

[课标解读]1.了解空间向量基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示.2.掌握空间向量的线性运算及其坐标表示.3.掌握空间向量的数量积及其坐标表示.

教材要点

知识点一共线向量定理与共面向量定理

1.共线向量定理

如果a≠0且b//a,则_存在唯一的实数λ,使b=λa.

2.向量共面的条件

①向量a平行于平面α的定义

已知向量a,作0A=a,如果a的基线OA_平行于平面α或在a内则就说向量a平行于平面α,记作

②共面向量的定义

平行于同一平面_的向量，叫做共面向量.

③共面向量定理

如果两个向量a,b_不共线，则向量c与向量a,b共面的充要条件是，存在唯一的一对实数x,y,使c=xa+yb.

答案

·

存在唯一的有序实数组(x,y,z),使p=xa+yb+zc

2.基底

如果三个向量a,b,c不共面,则a,b,c的线性组合

xa+yb+zc能生成所有的空间向量，这时a,b,c叫做空间的一个 基底,记作{a,b,c},其中a,b,c都叫做基向量.表达式xa+yb+zc叫做向量a,b,c的线性表达式或线性组合。

知识点二空间向量基本定理

1.空间向量基本定理

如果空间中的三个向量a,b,c,那么对空间任一向量p,

基础自测

1.对于空间的任意三个向量a,b,2a—b,它们一定是()

A.共面向量

B.共线向量

C.不共面向量

D.既不共线也不共面的向量

答案：A

2.给出的下列几个命题：

①向量a,b,c共面，则存在唯一的有序实数对(x,y),使c=xa+yb;

②零向量的方向是任意的；

③若a//b,则存在唯一的实数λ,使a=λb.其中真命题的个数为()

A.0B.1

C.2D.3

答案：B

解析：只有②为真命题.

—AB′CD′,点E是AC的中点，点F是

则AF等于()

3.已知正方体ABCD

AE的三等分点，

答案：D

DC

B

4.若{a,b,c}是空间的一个基底，且存在实数x,y,z使得xa+yb十zc=0,则x,y,z满足的条件是

答案：x=y=z=0

解析：若x≠0,则,即a与b,c共面.

由{a,b,c}是空间向量的一个基底，知a,b,c不共面，故x=0,同理y=z=0.

如图所示，在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E在A₁D₁上，且AE=

2ED₁,F在对角线A₁C上，」.求证：E,F,B三点共线.

题型1向量共线问题例1

方法归纳

判定两向量共线就是寻找x使a=xb(b≠0)成立，为此可结合空间图形并运用空间向量运算法则化简出a=xb,从而得a//b.

如图所示，已知空间四边形ABCD,E、H

F、G分别是CB、CD上的点，且

四边形EFGH是梯形.

跟踪训练1

A

Ek

C

分别是边AB、AD的中点，

利用向量法求证

H

D

G

B

F

7

则EF=EA+AD+DF,

EF=EB+BC+CF①

又E、F分别是AB、CD的中点，故有EA=-EB,DF

=-CF,②

将2代入①中，两式相加得2EF=AD+BC.

所以,即EF与BC、AD共面.

试证：EF与BC、AD共面.

证明：空间四边形ABCD中，E、F分别是AB、CD上的点，

题型2共面向量定理及应用

例2对于任意空间四边形ABCD,E、F分别是AB、CD的中点.

状元随笔

方法归纳

利用向量法证明四点共面，实质上是证明的向量共面问题，解题的关键是熟练地进行向量表示，恰当应用向量共面的充要条件，解题过程中要注意区分向量所在的直线的位置关系与向量的位置关系.

跟踪训练2已知A,B,C三点不共线，对平面ABC外的任一点O,确定在下列各条件下，点M是否与A,B,C三点共面：

答案：共面

解析：原式可变形为：

∵A,B,C三点不共线，

∴M在平面ABC内.

(2)OM=20A-OB-0C.