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数学竞赛历年试题及答案分析

数学竞赛是一项广受欢迎的竞赛活动，不仅有助于提升学生的

数学能力，还有助于培养学生的思维能力和解决问题的能力。数

学竞赛试题往往具有一定难度，涉及的领域也十分广泛，因此很

多参赛者都需要借助历年试题进行练习和备战。本文将带你回顾

数学竞赛历年试题，以及对试题答案进行分析，希望对参赛者有

所帮助。

第一届全国高中数学竞赛

第一届全国高中数学竞赛于1981年举行，是我国首次全国性

的高中数学竞赛。试题由中国数学学会和中国教育学会联合编制，

试题涉及的领域包括代数、数论、几何、解析几何和计算几何等。

下面是第一届全国高中数学竞赛的一道代数题：

已知a,b为正整数，且a1,b1，试证明：a^bb^a。

答案分析：

这是一道经典的代数题，需要运用一些基本的代数知识和数学

推理能力。根据题意，我们可以写出以下不等式：

a^b=a*a*a*...*a（一共b个a）

b^a=b*b*b*...*b（一共a个b）

将a^b与b^a相除得：

a^b/b^a=(a/a)*(a/a)*...*(a/a)*(a/b)*(a/b)*...*(a/b)

因为a1,b1，所以a/b1，因此a^b/b^a1，即a^bb^a，

得证。

第二届全国中学生数学竞赛

第二届全国中学生数学竞赛于1983年举行，是我国首次针对

中学生的全国性数学竞赛。试题由中国教育学会数学教育研究会

编制，试题涉及的领域包括代数、数论、几何、概率论和数学分

析等。下面是第二届全国中学生数学竞赛的一道几何题：

已知ΔABC，点D,E,F分别在AB,BC,CA上，且

DE//AC,DF//BC。若AD=a,BE=b，CF=c，求EF与AB的比值。

答案分析：

这是一道经典的几何题，需要运用一些基本的几何知识和数学

推理能力。根据题意，我们可以画出以下图形：

[图]

由于DE//AC,DF//BC，因此ΔADF∽ΔCBE，即：

AD/CF=AF/CE（比例关系1）

BD/CE=BE/CB（比例关系2）

将比例关系1和2带入得：

AD*BD/CF/CE=(AF/CE)*(BE/CB)

AD*BD/CF/CE=EF/AB

代入已知条件得：

a*(b-a)/(c-a)/b=EF/AB

化简得：

EF/AB=a(b-a)/(c-a)b

得到了EF与AB的比值，即：

EF:AB=a(b-a):(c-a)b

至此，第二届全国中学生数学竞赛的这道几何问题得到了完美

解答。

总结：

数学竞赛试题涉及的领域十分广泛，难度也十分高，只有通过

努力学习和不断练习，才有可能在竞赛中获得好的成绩。通过对

历年数学竞赛试题的回顾和答案分析，相信大家能够更好地理解

数学竞赛知识和方法，从而更好地备战数学竞赛。