2024年初中升学考试专题复习数学总复习(按知识点分类)命题与定理.pdfVIP

命题与定理

47．（2023•重庆）在学习了平行四边形的相关知识后，小虹进行了拓展性研究，她发现，如果作平行四

边形一条对角线的垂直平分线，那么这条垂直平分线在该四边形内部的线段被这条对角线平分．其解

决问题的思路为通过证明对应线段所在两个三角形全等即可得出结论．

请根据她的思路完成以下作图和填空：

用直尺和圆规作平行四边形ABCD对角线AC的垂直平分线，交DC于点E，交AB于点F，垂足为

O．（只保留作图痕迹）

如图，四边形ABCD是平行四边形，AC是对角线，EF垂直平分AC，垂足为O．求证：EO＝FO．

证明：∵四边形ABCD是平行四边形

∴DC∥AB．

∴∠ECO＝∠FAO．

∵EF垂直平分AC，

∴OA＝OC．

又∠EOC＝∠FOA，

∴△COE≌△AOF（ASA）．

∴EO＝FO．

再进一步研究发现，过平行四边形对角线中点的所有与该四边形一组对边相交所得的线段均具备此特

征，请你依照题目中的相关表述完成下面命题的填空：

过平行四边形对角线中点的直线被平行四边形一组对边所截，截得的线段被对角线中点平分．

【考点】命题与定理；全等三角形的判定与性质；平行四边形的判定与性质；作图—复杂作图．

【分析】根据要求画出图形，证明△COE≌△AOF（ASA），可得结论．

【解答】解：图形如图所示：

理由：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴DC∥AB．

∴∠ECO＝∠FAO，

∵EF垂直平分AC，

∴AO＝OC．

又∠EOC＝∠FOA，

∴△COE≌△AOF（ASA）．

∴EO＝FO．

再进一步研究发现，过平行四边形对角线中点的所有与该四边形一组对边相交所得的线段均具备此特

征，

所以过平行四边形对角线中点的直线被平行四边形一组对边所截，截得的线段被对角线中点平分，

故答案为：∠FAO，OA＝OC，∠FOA，过平行四边形对角线中点的直线被平行四边形一组对边所截，

截得的线段被对角线中点平分．

【点评】本题考查命题与定理，平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是

理解题意，正确寻找全等三角形解决问题．

48．（2023•重庆）学习了平行四边形后，小虹进行了拓展性研究．她发现，如果作平行四边形一条对角

线的垂直平分线，那么这个平行四边形的一组对边截垂直平分线所得的线段被垂足平分．她的解决思

路是通过证明对应线段所在的两个三角形全等得出结论．请根据她的思路完成以下作图与填空：

用直尺和圆规，作AC的垂直平分线交DC于点E，交AB于点F，垂足为点O．（只保留作图痕迹）

已知：如图，四边形ABCD是平行四边形，AC是对角线，EF垂直平分AC，垂足为点O．求证：OE

＝OF．

证明：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴DC∥AB．

∴∠ECO＝∠FAO．

∵EF垂直平分AC，

∴OA＝OC．

又∠EOC＝∠FOA，

∴△COE≌△AOF（ASA）．

∴OE＝OF．

小虹再进一步研究发现，过平行四边形对角线AC中点的直线与平行四边形一组对边相交形成的线段

均有此特征．请你依照题意完成下面命题：

过平行四边形对角线中点的直线被一组对边截得的线段被对角线的中点平分．

【考点】命题与定理；全等三角形的判定与性质；平行四边形的判定与性质；作图—复杂作图．

【分析】根据平行四边形的性质和全等三角形的判定和性质解答即可．

【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴DC∥AB．

∴∠ECO＝∠FAO．

∵EF垂直平分AC，

∴OA＝OC．

又∠EOC＝∠FOA，

∴△COE≌△AOF（ASA）．

∴OE＝OF；

过平行四边形对角线中点的直线被一组对边截得的线段被对角线的中点平分，

故答案为：∠FAO；OA＝OC；∠FOA；被一组对边截得的线段被对角线的中点平分．

【点评】此题考查命题与定理，关键是根据平行四边形的性质和全等三角形的判定和性质解