北师版高中数学必修第二册课后习题 第6章 立体几何初步 6.3 球的表面积和体积.docVIP

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第六章6.3球的表面积和体积

A级必备知识基础练

1.如图,该球O与圆柱O1O2的上、下底面及母线均相切,若球O的体积为4π3,则圆柱O1O2

A.4π B.5π

C.6π D.7π

2.[浙江杭州高一期中]直径为6cm的一个大金属球,熔化后铸成若干个直径为2cm的小球,如果不计损耗,可铸成这样的小球的个数为()

A.3 B.6 C.9 D.27

3.若长方体的长、宽、高分别为3,2,1,其顶点都在球O的球面上,则球O的表面积为.?

4.已知三个球的半径分别为R1,R2,R3,且满足R1+2R2=3R3,则它们相应的表面积S1,S2,S3满足的等量关系是,它们相应的体积V1,V2,V3满足的等量关系是.?

B级关键能力提升练

5.一个正四棱柱的各个顶点都在一个半径为2cm的球面上,如果正四棱柱的底面边长为2cm,那么该棱柱的表面积为()

A.2+42cm2 B.8+162cm2

C.4+82cm2 D.16+322cm2

6.已知一个几何体的三视图如图,则其外接球的体积为 ()

A.18π B.27π C.36π D.45π

7.我国古代数学名著《九章算术》中“开立圆术”曰:置积尺数,以十六乘之,九而一,所得开立方除之,即立圆径.意思是:球的体积V乘16,除以9,再开立方,即为球的直径d,由此我们可以推测当时球的表面积S计算公式为()

A.S=278d2 B.S=272

C.S=92d2 D.S=1114

C级学科素养创新练

8.已知一个表面积为120的正方体的四个顶点在半球的球面上,四个顶点在半球的底面上,求半球的表面积.

参考答案

6.3球的表面积和体积

1.C由球O的体积V=43πr3=4π3,可得球的半径r=1,所以底面圆的半径为1,圆柱的高为2r=2,所以圆柱O1O2的表面积为2πr2+2πr·2r=6πr

2.D小球的体积为4π3×13,大球的体积为4π3×3

所以可铸成这样的小球的个数为4π3

3.14π球的直径是长方体的体对角线,所以2R=32+2

4.S1+2S2=3S33V1+23V2=33V3因为S1=4πR12,所以R1=S14π=S12π,同理可得R

由V1=43πR13

同理可得R2=33V24π=

由R1+2R2=3R3,得3V1+23V

5.B设正四棱柱的高为h,则由题意及球的性质可得,22+22+h2=2R=4,所以h=22(cm),所以该棱柱的表面积为2×22

6.C根据三视图还原原几何体,如图所示.

由图可知,该几何体为三棱锥A-BCD,且AB⊥平面BCD,将三棱锥A-BCD补成长方体AEFG-BCDH,

所以,三棱锥A-BCD的外接球直径为2R=42+22+

7.A因为316V9=d,所以V=9d

所以π=278,所以S=4πd22=4×278×d

故选A.

8.解如图所示为过正方体对角面的截面图.

设正方体的棱长为a,半球的半径为R,

由6a2=120,得a2=20,

在Rt△AOB中,AB=a,OB=22

由勾股定理,得R2=a2+2a22=3a2