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代数中的对称美

高中数学的代数部分主要包括函数，不等式，数列，三角函数，

导数，排列，二项式定理，概率等。其中大部分内容均以函数为主

线，体现了函数是中学数学的核心部分，也是高中数学的基础。

函数的性质是考察的重点与热点，函数的对称性是函数的一个

基本性质，对称关系不仅广泛存在于数学问题之中，而且利用对称

性往往能更简捷地使问题得到解决，对称关系还充分体现了数学之

美。以下对与函数有关的对称的性质进行探讨。

一、函数自身的对称性

定理1.函数y=f(x)的图像关于点a(a,b)对称的充要条件是

f(x)+f(2a－x)=2b

证明：（必要性）设点p(x,y)是y=f(x)图像上任一点，∵点p(x,y)

关于点a(a,b)的对称点p‘（2a－x，2b－y）也在y=f(x)图像上，

∴2b－y=f(2a－x)即

y+f(2a－x)=2b故f(x)+f(2a－x)=2b，必要性得证。

（充分性）设点p(x0,y0)是y=f(x)图像上任一点，则y0=f(x0)

∵f(x)+f(2a－x)=2b∴f(x0)+f(2a－x0)=2b，即2b－y0=f(2a

－x0)。

故点p‘（2a－x0，2b－y0）也在y=f(x)图像上，而点p与点p

‘关于点a(a,b)对称，充分性得征。

例如：已知函数，求证：此函数的图像关于点成中心对称。

（此证明留给读者）

注：利用定理，需证必要性与充分性两方面，当然也可由图像

观察对称性。

推论：函数y=f(x)的图像关于原点o对称的充要条件是

f(x)+f(－x)=0（这也是奇函数图像的特性）

如：设f(x)是定义在r上的奇函数，且f(x+2)=－f(x),当0≤x

≤1时，

f(x)=x，则f(7.5)=（）

(a)0.5(b)－0.5(c)1.5(d)－1.5

解：∵y=f(x)是定义在r上的奇函数，∴点（0，0）是其对称

中心；

又∵f(x+2)=－f(x)=f(－x)，即f(1+x)=f(1－x)，∴直线x=1

是y=f(x)对称轴，故y=f(x)是周期为2的周期函数。

∴f(7.5)=f(8－0.5)=f(－0.5)=－f(0.5)=－0.5故选(b)

定理2.函数y=f(x)的图像关于直线x=a对称的充要条件是

f(a+x)=f(a－x)即f(x)=f(2a－x)

证明：（必要性）设点p(x,y)是y=f(x)图像上任一点，∵点p(x,y)

关于x=a的对称点p‘（2a－x，y）也在y=f(x)图像上，∴y=f(2a

－x)即f(x)=f(2a－x)，必要性得证。

（充分性）设点p(x0,y0)是y=f(x)图像上任一点，则y0=f(x0)

∵f(x)=f(2a－x)∴f(x0)=f(2a－x0)，即y0=f(2a－x0)。故点

p‘（2a－x0，y0）也在y=f(x)图像上，而点p与点p‘关于对称，

充分性得证。

推论：函数y=f(x)的图像关于y轴对称的充要条件是f(x)=f(－

x)

（这也是偶函数图像的特性）

二、不同函数对称性

定理3.函数y=f(x)与y=2b－f(2a－x)的图像关于点a(a,b)