2.2 基本不等式（解析版）_1.docx

2.2基本不等式

分层练习

考查题型一利用基本不等式比较大小

1.（多选）若，，，则下列不等式恒成立的是（????）

A． B．

C． D．

【详解】因为，，，

对于A，，当且仅当时，等号成立，所以，故A正确；

对于B，，当且仅当时，等号成立，所以，故B正确；

对于C，，故C正确；

对于D，取，，得，故D错误.

故选：ABC

2．已知a、b为正实数，，则（????）

A． B．

C． D．

【详解】因为a、b为正实数，

所以，当且仅当时，等号成立，

，所以，当且仅当时，等号成立，

综上：.

故选：B

3．如图所示的两种广告牌，其中图（1）是由两个等腰直角三角形构成的，图（2）是一个矩形，则这两个广告牌面积的大小关系可用含字母a，b（a≠b）的不等式表示为.

【详解】图（1）是由两个等腰直角三角形构成的，面积.

图（2）是一个矩形，面积

可得：.

故答案为：.

4.若a0，b0，且a＋b＝4，则下列不等式恒成立的是（填序号）.

①；②；③≥2；④a2＋b2≥8.

【详解】因为（当且仅当a＝b时，等号成立），

即≤2，ab≤4，，故①③不成立；

，故②不成立；

故④成立.

故答案为：④.

考查题型二利用基本不等式求最值

1．已知，则的最小值为（????）

A．2 B．4 C． D．

【详解】由，则，仅当时等号成立，

所以函数最小值为4.

故选：B

2．已知，则的最小值为（????）

A． B．0 C．1 D．

【详解】，，

，

，

，

，

当且仅当，即，时等号成立，故选：A

3．函数的最大值是．

【详解】方法一：，

∵，∴，，

∴，当且仅当，即时取等号．

故当时，．

方法二：由知，∴，

当且仅当，即时取等号．

故当时，．

故答案为：

4.已知正实数a，b满足则ab的最大值为.

【详解】因为正实数，满足，当且仅当，即，时取等号，

解得，

则的最大值5．

故答案为：5．

考查题型三基本不等式的恒成立问题

1．若对，，有恒成立，则的取值范围是（）

A． B．

C． D．

【详解】因为，，

所以，

当且仅当时取等号，所以，

故选：D．

2．若a0，b0，且a＋b＝4，则下列不等式恒成立的是（填序号）.

①；②；③≥2；④a2＋b2≥8.

【详解】因为（当且仅当a＝b时，等号成立），

即≤2，ab≤4，，故①③不成立；

，故②不成立；

故④成立.

故答案为：④.

3．已知，，且，若恒成立，则实数的取值范围是．

【详解】因为，，且，

所以，，

当且仅当时，等号成立，故的最小值为.

因为恒成立，所以，.

故答案为：.

1．如果，那么下列不等式正确的是（?????）

A． B．

C． D．

【详解】由已知，利用基本不等式得出，

因为，则，，

所以，，

∴.

故选：B

2.下列不等式一定成立的是（????）

A． B．（其中）

C．的最小值为2 D．的最小值为2（其中）

【详解】解：对于A，当时，，当时，等号成立；

当时，，当时，等号成立；

所以或，故错误；

对于B，因为，所以，

所以，当，即时，等号成立，故正确；

对于C，因为，

所以，

令，则有，

由对勾函数的性质可知，在上单调递增，

所以，

所以，故错误；

对于D，因为，所以，

令，由对勾函数的性质可知，在上单调递增，

所以，即，故错误.

故选：B.

3．已知正实数，满足，则的最小值为.

【详解】因为，则，

所以，

当且仅当，即时取等号，

所以的最小值为.

4．（1）已知实数，满足，，求和的取值范围

（2）已知正实数，满足：，求的最小值

【详解】（1）因为，所以，

所以??

所以的取值范围是．

因为，所以，

因为，所以，

所以的取值范围是．

（2）因为，

所以，

当且仅当，即时，等号成立，

所以的最小值为9.