3.1 排列与组合（解析版） _1.docx

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第三章排列、组合与二项式定理

3.1排列与组合

题型一.基本计数原理

考点1.分类加法原理

1．完成一项工作，有两种方法，有5个人只会用第一种方法，另外有4个人只会第二种方法，从这9个人中选1个人完成这项工作，则不同的选法共有（????）

A．5种 B．4种 C．9种 D．45种

【答案】C

【详解】会用第一种方法的有5个人，选1个人完成这项工作有5种选择；

会用第二种方法的有4个人，选1个人完成这项工作有4种选择；两者相加一共有9种选择，

故选：C.

2．把10个苹果分成三堆，要求每堆至少1个，至多5个，则不同的分法共有（）

A．4种 B．5种 C．6种 D．7种

【答案】A

【详解】试题分析：分类：三堆中“最多”的一堆为5个，其他两堆总和为5，每堆最至少1个，只有2种分法．

三堆中“最多”的一堆为4个，其他两堆总和为6，每堆最至少1个，只有2种分法．

三堆中“最多”的一堆为3个，那是不可能的．

3．已知四棱锥O-ABCD，现有质点Q从O点出发沿棱移动，规定质点Q从一个顶点沿棱移动到另一个顶点为1次移动，则该质点经过3次移动后返回到O

【答案】8

【详解】如下图所示：

满足条件的路径可以为：O→A→B→

O→C→B→O、

O→D→A

故答案为：8.

考点2.分步乘法原理

4．为响应国家“节约粮食”的号召，某同学决定在某食堂提供的2种主食、3种素菜、2种大荤、4种小荤中选取一种主食、一种素菜、一种荤菜作为今日伙食，并在用餐时积极践行“光盘行动”，则不同的选取方法有（????）

A．48种 B．36种 C．24种 D．12种

【答案】B

【详解】解：由题意可知，分三步完成：

第一步，从2种主食中任选一种有2种选法；

第二步，从3种素菜中任选一种有3种选法；

第三步，从6种荤菜中任选一种有6种选法，

根据分步计数原理，共有2×3×6=36不同的选取方法，

故选：B

5．某学校有东、南、西、北四个校门，受新冠肺炎疫情的影响，学校对进入四个校门做出如下规定：学生只能从东门或西门进入校园，教师只能从南门或北门进入校园.现有2名教师和3名学生要进入校园（不分先后顺序），请问进入校园的方式共有（????）

A．6种 B．12种 C．24种 D．32种

【答案】D

【详解】因为学生只能从东门或西门进入校园，

所以3名学生进入校园的方式共23=8

因为教师只可以从南门或北门进入校园，

所以2名教师进入校园的方式共有22=4

所以2名教师和3名学生要进入校园的方式共有8×4=32种情况.

故选：D

6．用5种不同颜色给图中的A、B、C、D四个区域涂色，规定一个区域只涂一种颜色，相邻的区域颜色不同，共有种不同的涂色方案．

A．420 B．180 C．64 D．25

【答案】B

【详解】分析：由于规定一个区域只涂一种颜色，相邻的区域颜色不同，可分步进行，区域A有5种涂法，B有4种涂法，C有3种，D有3种涂法，根据乘法原理可得结论．

详解：

由题意，由于规定一个区域只涂一种颜色，相邻的区域颜色不同，可分步进行，区域A有5种涂法，B有4种涂法，C有3种，D有3种涂法

∴共有5×4×3×3=180种不同的涂色方案．

故答案为B.

考点3.基本计数原理的综合应用

1．有不同的语文书9本，不同的数学书7本，不同的英语书5本，从中选出不属于同一学科的书2本，则不同的选法有_______种．

【答案】143种

【详解】由题意不同选法有9×7+9×5+7×5=143．

故答案为：143．

2．现有甲、乙、丙三种树苗可供选择，分别种在一排五个坑中，要求相同的树苗不能相邻，第一、五坑内只能种甲种树苗，则不同的种法共有（????）

A．4种 B．5种 C．6种 D．7种

【答案】C

【详解】因为同种树苗不相邻且第一个树坑和第5个树坑只能种甲种树苗，所以只有中间三个坑需要选择树苗，

（1）当中间一个种甲时，第二个和第四个坑都有两种选法，共有4种选法，

（2）当中间一个不种甲时，则中间一个种乙或丙，

①当中间这个种乙时，第二个和第四个位置树苗种丙，

②当中间这个种丙时，第二个和第四个位置树苗种乙，故一共有6种种法.

故选：C.

3．中国有十二生肖，又叫十二属相，每一个人的出生年份对应了十二种动物（鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪）中的一种.现有十二生肖的吉祥物各一个，三位同学依次选一个作为礼物，甲同学喜欢牛和马，乙同学喜欢牛、狗和羊，丙同学每个吉祥物都喜欢，如果三位同学对选取的礼物都满意，则选法有（????）

A．50种 B．60种 C．90种 D．180种

【答案】A

【详解】①若甲同学选择牛，则乙同学有2种选择，丙同学有1