人教A版高中数学（选择性必修第一册）同步讲义+题型讲解第01讲 1.1 空间向量及其线性运算（教师版）.docVIP

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1.1.1空间向量及其线性运算

课程标准

学习目标

①理解空间向量的概念，空间向量的共线定理、共面定理及推论.

②会进行空间向量的线性运算，空间向量的数量积，空间向量的夹角的相关运算.

1．理解空间向量的相关概念的基础上进行与向量的加、减运算、数量积的运算、夹角的相关运算及空间距离的求解.

2．利用空间向量的相关定理及推论进行空间向量共线、共面的判断.

知识点01：空间向量的有关概念

1、空间向量的有关概念

（1）概念：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做空间向量，空间向量的大小叫做空间向量的长度或模；如空间中的位移速度、力等．

（2）几类特殊的空间向量

名称

定义及表示

零向量

长度为0的向量叫做零向量，记为SKIPIF10

单位向量

模为1的向量称为单位向量

相反向量

与向量SKIPIF10长度相等而方向相反的向量，称为SKIPIF10的相反向量，记为SKIPIF10

相等向量

方向相同且模相等的向量称为相等向量

2、空间向量的表示

表示方法：和平面向量一样，空间向量有两种表示方法：

（1）几何表示法：用有向线段SKIPIF10来表示，SKIPIF10叫向量的起点，SKIPIF10叫向量的终点；

（2）字母表示法：用SKIPIF10表示．向量SKIPIF10的起点是SKIPIF10，终点是SKIPIF10，则向量SKIPIF10也可以记作SKIPIF10，其模记为SKIPIF10或SKIPIF10.

【即学即练1】（2023·江苏·高二专题练习）如图所示，在平行六面体SKIPIF10的棱中，与向量SKIPIF10模相等的向量有______个.

【答案】7

【详解】与SKIPIF10模长相等的向量有：SKIPIF10共有7个.

故答案为：7

知识点02：空间向量的加法、减法运算

1、空间向量的位置：已知空间向量SKIPIF10，可以把它们平移到同一平面SKIPIF10内，以任意点SKIPIF10为起点，作向量SKIPIF10，SKIPIF10

2、空间向量的加法运算（首尾相接首尾连）：作向量SKIPIF10，则向量SKIPIF10叫做向量SKIPIF10的和．记作SKIPIF10，即SKIPIF10

3、空间向量的减法运算（共起点，连终点，指向被减向量）：向量SKIPIF10叫做SKIPIF10与SKIPIF10差，记作SKIPIF10，即SKIPIF10

4、空间向量的加法运算律

（1）加法交换律：SKIPIF10

（2）加法结合律：SKIPIF10

【即学即练2】（2023秋·浙江台州·高二期末）如图，在平行六面体SKIPIF10中，E是SKIPIF10的中点，则SKIPIF10（????）

A．SKIPIF10 B．SKIPIF10

C．SKIPIF10 D．SKIPIF10

【答案】A

【详解】SKIPIF10．

故选：A.

知识点03：空间向量的数乘运算

1、定义：与平面向量一样，实数SKIPIF10与空间向量SKIPIF10的乘积SKIPIF10仍然是一个向量，称为向量的数乘运算．

2：数乘向量SKIPIF10与向量SKIPIF10的关系

SKIPIF10的范围