人教A版高中数学（选择性必修第一册）同步讲义+题型讲解第02讲 1.2 空间向量基本定理（原卷版）.docVIP

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1.2空间向量基本定理

课程标准

学习目标

①理解并记住共线向量基本定理、平面向量基本定理、共面向量定理及空间向量基本定理的内容及含义。

②理解基底与基向量的含义，会用恰当的基向量表示空间任意向量。

③会用相关的定理解决简单的空间几何问题。

1.通过对空间向量基本定理的意义的掌握与了解，会用空间向量的基底表示空间任一向量，能用正交分解及坐标形式表示空间向量.

2.结合平面向量与空间向量的基本定理，解决平面与立体几何的相关问题.

知识点01：空间向量基本定理

1、空间向量基本定理

如果向量三个向量a,b,c,不共面，那么对空间任意向量

2、基底与基向量

如果向量三个向量a,b,c,不共面，那么所有空间向量组成集合就是pp=xa

对基底正确理解，有以下三个方面：

（1）空间中任意三个不共面的向量都可以作为空间的一个基底；

（2）因为0可视为与任意一个非零向量共线，与任意二个非零向量共面，所以三个向量不共面，就隐含着它们都不是0；

（3）一个基底是由三个不共面的向量构成的，它是一个向量组；而一个基向量是指基底中的某一个向量，二者是不同的概念．

【即学即练1】如图，M，N分别是四面体OABC的边OA，BC的中点，E是MN的三等分点，且NENM=13，用向量SKIPIF10表示OE为（????）

????

A．OE=16

C．OE=16

知识点02：空间向量的正交分解

1、单位正交基底

如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直，且长度都是1，那么这个基底叫做单位正交基底，常用{i,

2、正交分解

由空间向量基本定理可知，对空间任一向量a，均可以分解为三个向量xi，yi，zk使得

我们把x,y,z称作向量SKIPIF10在单位正交基底{i,j,k}下的坐标．记作a=x,y,z此时向量a的坐标恰是点a在空间直角坐标系Oxyz中的坐标x,y,z,

3、特殊向量的坐标表示

（1）当向量a平行于x轴时，纵坐标、竖坐标都为0，即a

（2）当向量a平行于y轴时，纵坐标、横坐标都为0，即a

（3）当向量a平行于z轴时，横坐标坐标、纵坐标都为0，即a

（4）当向量a平行于xOy平面时，竖坐标为0，即a

（5）当向量a平行于yOx平面时，横坐标为0，即a

（6）当向量a平行于xOz平面时，纵坐标为0，即a

题型01空间向量基底的概念及辨析

【典例1】已知a,b,

A．a,a?2b,a

C．2a+2b

【典例2】（多选）设SKIPIF10且a,b,c是空间的一个基底，则下列向量组中，可以作为空间一个基底的向量组有（????）

A．a,b,

C．b,c,

【变式1】a,b,

A．a，a+b，a?b B．b

C．c，a+b，a?b D．a

【变式2】（多选）a,b,c是空间的一个基底，与a+

A．SKIPIF10 B．SKIPIF10 C．b D．c

题型02用空间基底表示向量

【典例1】在平行六面体ABCD?A1B1C1D1中，AC，BD相交于O，M为OC1的中点，设SKIPIF10，AD=

A．14a+

C．?14a

【典例2】四棱锥P?ABCD中，底面ABCD是平行四边形，点E为棱PC的中点，若AE=xAB+yAD+z

A．32 B．1 C．52

【典例3】空间四边形ABCD中，AC与BD是四边形的两条对角线，M，N分别为线段AB，CD上的两点，且满足AM=23AB，DN=34DC，若点G在线段MN上，且满足MG=3GN，若向量SKIPIF10满足AG=x

【变式1】在四面体O?ABC中，PA=2OP，Q是BC的中点，且M为PQ的中点，若OA=a，OB=

A．16a+14b+

C．13a+

【变式2】如图，在平行六面体ABCD?A1B1C1D1中，P是CA1的中点，点Q在C

??

A．QP=310

C．QP=310

【变式3】已知四面体O?ABC，G1是ΔABC的重心，G是O

若OG=xOA+yOB+z

A．14,14,14B．3

【变式4】已知正方体ABCD?A1B1C1D1中，侧面C

题型03应用空间向量基本定理证明线线位置关系

【典例1】已知空间四边形OABC中，∠AOB=∠BOC=∠AOC，且OA=OB=OC，M，N分别是OA，BC的中点，G是MN的中点，求证：OG⊥BC．

【典例2】已知四面体中三组相对棱的中点间的距离都相等，求证:这个四面体相对的棱两两垂直.

已知：如图，四面体ABCD，E，F，G，H，K，M分别为棱AB，BC，CD，DA，BD，AC的中点，且EG