北师版高考文科数学一轮总复习课后习题 第3章 导数及其应用 高考解答题专项一 第1课时 利用导数证明不等式.docVIP

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第1课时利用导数证明不等式

1.(安徽皖江名校联盟模拟)已知函数f(x)=lnx+ax2-x,其中a≥0.

(1)讨论f(x)的单调性;

(2)若函数g(x)=f(x)+ex+(1-a)x2-lnx,证明:当x0时,g(x)12x3

(1)解f(x)的定义域为(0,+∞),f(x)=1x+2ax-1=2ax2

若a0,由2ax2-x+1=0可知Δ=1-8a,

当Δ=1-8a≤0,即a≥18时,2ax2

当Δ=1-8a0,即0a18时,解得x=1±

此时f(x)在0,1-1-

(2)证明因为g(x)=f(x)+ex+(1-a)x2-lnx=ex+x2-x,

所以g(x)12x3+1就是ex+x2-x12x3+1,即ex+x2-x-12

令h(x)=ex+x2-x-12x3-1(x0),则h(x)=ex+2x-1-32((x)=e

由n(x)=ex-3=0,得x=ln3,易知n(ln3)是n(x)的最小值.

于是n(x)≥n(ln3)=5-3ln30,h(x)在(0,+∞)上是递增的,

所以h(x)h(0)=0,h(x)在(0,+∞)上是递增的.故当x0时,h(x)h(0)=0,即g(x)12x3

2.(湖北宜昌高三期末)已知函数f(x)=1+lnx+ax-a2x2.

(1)当a=1时,求f(x)的单调区间;

(2)若a=0,且x∈(0,1),求证:f(x)-2lnxe

(1)解当a=1时,f(x)=1+lnx+x-x2,定义域为(0,+∞),∴f(x)=1x+1-2x=-(

∴f(x)的递增区间为(0,1],递减区间为(1,+∞).

(2)证明当a=0时,f(x)=1+lnx,

∴f(x)-2lnxex+2x2-1x2,即1-lnx

令g(x)=x(1-lnx)(0x1),

∴g(x)=-lnx0,

∴g(x)在(0,1)内是递增的,

∴g(x)g(1)=1.令h(x)=ex(-2x3+2x+1)(0x1),

∴h(x)=ex(-2x3-6x2+2x+3),

令φ(x)=-2x3-6x2+2x+3,

∴φ(x)=-6x2-12x+2在(0,1)内是递减的,

又φ(0)=20,φ(1)=-160,

∴存在x0∈(0,1)使φ(x0)=0,且x∈(0,x0)时,φ(x)0,φ(x)是递增的,x∈(x0,1)时,φ(x)0,φ(x)是递减的,

而φ(0)=30,φ(1)=-30,

∴存在x1∈(0,1)使φ(x1)=0,即h(x1)=0,当x∈(0,x1)时,h(x)0,h(x)是递增的,当x∈(x1,1)时,h(x)0,h(x)是递减的,而h(0)=1,h(1)=e,

∴h(x)1恒成立,

∴g(x)h(x),即x(1-lnx)ex(-2x3+2x+1)(0x1),

即f(x)-2lnxe

3.已知函数f(x)=4x2+(8-a)x-alnx.

(1)求f(x)的单调区间;

(2)当a=2时,证明:f(x)4x2-2ex+6x+4.

(1)解由题意知f(x)的定义域为(0,+∞),由已知得f(x)=8x

当a0时,令f(x)0,解得xa8;令f(x)0,解得0xa

所以f(x)在0,a8

综上,当a≤0时,f(x)的递增区间为(0,+∞),无递减区间;

当a0时,f(x)的递减区间为0,a8

(2)证明原不等式等价于φ(x)=ex-lnx-20,φ(x)的定义域为(0,+∞),则φ(x)=ex-1x,易知φ(x)在(0,+∞)上是递增的,且φ1

所以φ(x)在12,1内存在唯一零点x0,此时φ(x)在(0,x0)内是递减的,在(x0,+∞)上是递增的,要证φ(x)0即要证φ(x0)0,由ex0-1x0=0,得ex0=1x0,x0=1ex0,代入φ(x0)=

所以f(x)4x2-2ex+6x+4.

4.已知函数f(x)=ex+cosx-2.

(1)设f(x)为f(x)的导函数,求f(x)在[0,+∞)上的最小值;

(2)令g(x)=f(x)-ax(a∈R),证明:当a≤1时,在-π

(1)解根据题意,当x≥0时,f(x)=ex-sinx,令h(x)=ex-sinx,则h(x)=ex-cosx,因为当x∈[0,+∞)时,ex≥1,cosx≤1,即h(x)=ex-cosx≥0,因此,h(x)即f(x)在[0,+∞)上是递增的,所以f(x)在[0,+∞)上的最小值为f(0)=1.

(2)证明由题意知a≤1,g(x)=ex+cosx-ax-2,则g(x)=ex-sinx-a≥ex-sinx-1=ex1-1+sinxex,令φ(x)=1+sinxex,-π2≤x0,则φ(x)=cosx-sinx-1ex=2cosx+π4-