利用函数放缩证明不等式、数列（解析版）.docx

利用函数放缩证明不等式、数列

一、解答题

1.已知函数f(x)=alnx-x+1，其中a∈R.

(1)讨论函数f(x)零点个数；

(2)求证：e1+++?+n(n∈N*(.

【答案】(1)答案见解析

(2)证明见解析

【分析】(1)求导，分类讨论a的取值，即可根据导函数的正负确定函数的单调性，进而可求解，

(2)根据lnxx-1，取x=1+，利用累加法，结合指对互化即可求解.【详解】(1)∵f/(x(=-1=(x0)

∴①当a≤0时，f/(x(0,即f(x(在(0,+∞(单调递减，又f(1)=0，∴f(x)只有一个零点.

②当a0时，令f/(x(=0,则x=a，

当0xa时，f/(x(0,当xa时，f/(x(0,

故f(x(在(0,a(单调递增，f(x(在(a,+∞(单调递减，∴f(x(≤f(a(=alna-a+1，

令g(a(=alna-a+1，则g/(a(=lna，

故当0a1时，g/(a)0,g(a(单调递减，当a1时，g/(a)0,g(a(单调递增，故g(a(≥g(1(=0，

又x→0,f(x(→-∞,x→+∞,f(x(→-∞,故当a=1时，f(x(只有一个零点，

当a0且a≠1时，f(x(有两个零点，

综上可知：故当a=1或a≤0时，f(x(只有一个零点，当a0且a≠1时，f(x(有两个零点，

(2)由(1)可知，当a=1时，f(x(=lnx-x+1在(1,+∞(单调递减，故当x1时，f(x(=lnx-x+1f(1(=0，故lnxx-1，

取x=1+，则ln(1+，即ln(n+1(-lnn，

相加可得(ln2-ln1(+(ln3-ln2(+?+(ln(n+1(-lnn(1+++?+，∴ln(n+1(1+++?+，

∴e1+++?+eln(n+1(=n+1n，【点睛】方法点睛：

1.导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理.

2.利用导数解决含参函数的单调性问题时，一般将其转化为不等式恒成立问题，解题过程中要注意分类讨论和数形结合思想的应用.

2.已知函数f(x)=ex-ax2-x.

·1·

(1)若f(x)在x∈R上单调递增，求a的值；

(2)证明：(1+1)(1+1+e2(n∈N*且n≥2).

【答案】(1)1；

(2)证明见解析.

【分析】(1)求出函数f(x)的导数f/(x)，根据给定条件可得f/(x)≥0恒成立，再利用导数分类讨论求解作答.

(2)利用(1)的结论得当x0时，ln(x+1(x，取x=，利用不等式的性质结合裂项相消法求和作答.【详解】(1)函数f(x)=ex-ax2-x，求导得f/(x)=ex-ax-1，

由于函数f(x(在R上单调递增，则f/(x(=ex-ax-1≥0恒成立，令h(x(=ex-ax-1，则h/(x(=ex-a，

当a=0时，f/(x(=ex-1，当x0时，f/(x(0，不满足条件；当a0时，h/(x(0，h(x(在R上单调递增，

又h=e?-1=e/0，不满足条件；

当a0时，令h/(x(=0，得x=lna，

则当xlna时，h/(x(0，h(x(单调递减，当xlna时，h/(x(0，h(x(单调递增，于是当x=lna时，h(x(取得最小值h(lna(=elna-alna-1=a-alna-1，

于是h(lna(≥0，即a-1-alna≥0，

令u(a(=a-1-alna，则u/(a(=-lna，

当0a1时，u/(a(0，u(a(单调递增；a1时，u/(a(0，u(a(单调递减，

则u(a(max=u(1(=0，由于a-1-alna≥