利用函数放缩证明不等式、数列（学生版）.docx

利用函数放缩证明不等式、数列

一、解答题

1.已知函数f(x)=alnx-x+1，其中a∈R.

(1)讨论函数f(x)零点个数；

求证：e1+n(n∈N*(.

2.已知函数=ex-ax2-x.

(1)若f(x)在x∈R上单调递增，求a的值；

证明：(???(1+(e2

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3.已知函数f(x(=xlnx-a(x-1(.

(1)若f(x(≥0，求实数a的值；

已知n∈N*且n≥2，求证：sin+sin+?+sinlnn.

4.已知函数f(x(=ex-ax2-x

(1)若f(x(单调递增，求a的值；

判断(1+1((1+(???(1+的大小，并说明理由.

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5.已知函数f(x(=

(1)求f(x(在(1,f(1((处的切线方程；

(2)(i)若xf(x(≤x-1恒成立，求a的取值范围；

当a=1时，证明：

6.已知函数f(x(=

(1)讨论f(x(的单调性；

(2)当x≥0时，f(x(≤2恒成立，求a的取值范围；

设g(n(=，n∈N*，证明：g(1(+g(2(+???+g(n(

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7.已知λ为正实数，函数f(x(=ln(λx+1(-λx+(x0(.

(1)若f(x(0恒成立，求λ的取值范围；

求证：2ln(n+1(-(2ln(n+1(

8.已知函数f(x(=ax++c(a0(的图象在点(1,f(1((处的切线方程为y=x-1.

(1)用a表示出b，c；

(2)若f(x(-lnx≥0在[1,+∞(上恒成立，求a的取值范围；

证明：1++???++ln(n+1((n∈N*(.

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9.已知函数f(x)=ex-ax-1(a0,e,为自然对数的底数).

(1)若f(x(≥0对任意的x∈R恒成立，写出实数a的值，然后再证明；

证明：((n+((n+?+((n+(

10.已知函数f(x(=ex-2ax-1(a,b∈R(,g(x(=x-sinx.

(1)当x∈[0,+∞(对，求函数g(x(的最小值；

(2)若f(x(≥0对x∈R恒成立，求实数a取值集合；

(3)求证：对?n∈N*，都有sinn+1+sinn+1+sinn+1+?+sinn+1-

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11.已知函数f(x(=x2-x-alnx(a0(.

(1)求f(x(的单调区间；

(2)①若f(x(≥0，求实数a的值；

②设n∈N*，求证：(1+(+(1+(ln(n+1(.

12.已知函数f(x(=ax2-x-lnx(a∈R(.

(1)讨论f(x(的单调性；

(2)当x≥1，|f(x(|≥2，求a的取值范围；

证明：

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13.已知函数f(x(=lnx-(a∈R(.

(1)若函数f(x(在定义域内是单调增函数，求实数a的取值范围；

求证：n(n+5(，n∈N

14.已知函数f(x(=alnx+1-x.

(1)若f(x(≤0，求a的值；

证明：当n∈N+且n≥2时，

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15.已知函数f(x(=ln(x+2(+-a(a∈R(.

(1)求函数f(x(的单调区间；

求证：

16.已知函数f(x(=lnx+(a∈R(.

(1)求函数f(x(的极值；

求证：ln(n+1((n∈N*(.

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17.已知函数f(x(=alnx-

(1)若函数f(x(在区间(0,+∞(上为增函数，求a的取值范围；

设n∈N*，证明：ln(n+1(.

18.已知函数f(x(=ln(x+a(-ax.

(1)若f(x(≤0恒成立，求实数a的最大值；

设n∈N*，n≥2，求证：(1+((1+((1+(???

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19.已知函数f(x(=ln(x+1(-

(1)求f(x(的极值；

(2)对任意的n∈N*，求证：ln2.