22.7-22.9平面向量及其加减运算-2020-2021学年八年级数学第二学期同步课堂帮帮帮(沪教版)(原卷版+解析).docxVIP

22.7-22.9平面向量及其加减运算

知识梳理

一、平面向量

1.有向线段：规定了方向的线段叫做有向线段.有向线段的方向是从一点到另一点的指向，这时线段的两个端点有顺序，前一点叫做起点，另一点叫做终点，画图时在终点处画上箭头表示它的方向.

2.平面向量的定义及表示

（1）向量:既有大小又有方向的量叫做向量.其中向量的大小叫做向量的模（或向量的长度）.

（2）向量的表示方法:

①小写英文字母表示法:如等.

②几何表示法:用一条有向线段表示向量，如等.

（3）向量的分类：

固定向量：有大小、方向、作用点的向量；

自由向量：只有大小、方向，没有作用点的向量.

3.特殊的向量

零向量:长度为零的向量叫零向量.

单位向量:长度等于1个单位的向量.

相等向量:长度相等且方向相同的向量.

互为相反向量:长度相等且方向相反的向量.

平行向量:方向相同或相反的非零向量，叫平行向量(平行向量又称为共线向量).

规定:与任一向量共线.

要点：

（1）零向量的方向是任意的，注意与0的含义与书写的不同.

（2）平行向量可以在同一直线上，要区别于两平行线的位置关系；共线向量可以相互平行，要区别于在同一直线上的线段的位置关系.

(3)零向量、单位向量的定义都只是限制了大小.

二、平面向量的加法运算

1.定义：求两个向量的和向量的运算叫做向量的加法.

2.运算法则：

（1）三角形法则：一般来说，求不平行的两个向量的和向量时，只要把第二个向量与第一个向量首尾相接，那么以第一个向量的起点为起点、第二个向量的终点为终点的向量就是和向量.这样的规定叫做向量的加法的三角形法则.如图：

Ａ

Ａ

Ｂ

Ｃ

（2）多边形法则：一般地，几个向量相加，可把这几个向量顺次首尾相接，那么它们的和向量是以第一个向量的起点为起点、最后一个向量的终点为终点的向量，这样的规定叫做几个向量相加的多边形法则.

ＡＢＣＤ（3）平行四边形法则：如果是两个不平行的向量，那么求它们和向量时，可以在平面内任取一点为公共起点，作两个向量分别与相等；再以这两个向量为邻边作平行四边形；然后以所取的公共起点为起点，作这个平行四边形的对角线向量，则这一对角线向量就是和的向量.如图：

Ａ

Ｂ

Ｃ

Ｄ

要点：

1.两个向量的和是一个向量，规定.

2.可用平行四边形或三角形法则进行运算，但要注意向量的起点与终点.

3.“向量平移”（自由向量）：使前一个向量的终点为后一个向量的起点，可以推广到n个向量连加，即得到几个向量相加的多边形法则.

4..探讨该式中等号成立的条件，可以解决许多相关的问题.

3.运算律：

（1）交换律：；

（2）结合律：

三、向量的减法运算

1.定义：已知两个向量的和及其中一个向量，求另一个向量的运算叫做向量的减法.

2.运算法则：

在平面内任取一点，以这点为公共起点作出这两个向量，那么它们的差向量是以减向量的终点为起点、被减向量的终点为终点的向量，这样求两个向量的差向量的规定叫做向量减法的三角形的法则.

要点：

（1）减去一个向量等于加上这个向量的相反向量，即：，从而用加法法则来解决减法问题.

（2）向量的加法、减法的结果仍然是向量，规定.

（3）与长度相等、方向相反的向量，叫做的相反向量，即.

一、单选题

1．若向量与均为单位向量，则下列结论中正确的是（）．

A． B． C． D．

2．下列说法不正确的是（）

A．零向量是没有方向的向量 B．零向量的方向是任意的

C．零向量与任一向量平行 D．零向量只能与零向量相等

3．如图，在等腰梯形中，，，，交于点．下列判断正确的是（）

A．向量和向量是相等向量 B．向量和向量相反向量

C．向量和向量是平行向量 D．向量与向量的和向量是零向量

4．已知四边形是矩形，点是对角线与的交点.下列四种说法：①向量与向量是相等的向量；②向量与向量是互为相反的向量；③向量与向量是相等的向量；④向量与向量是平行向量．其中正确的个数为（）

A．1 B．2 C．3 D．4

5．在梯形ABCD中，AD∥BC，AB﹦CD，那么下列结论中正确的是（）．

A．与是相等向量； B．与是相等向量；

C．与是相反向量； D．与是平行向量．

6．如图，点、在线段上，，那么下列结论中，正确的是（）

A．与是相等向量 B．与是平行向量

C．与是相反向量 D．与是相等向量

7．下列各式中错误的是()

A． B． C． D．

8．若非零向量、满足｜-｜=｜｜，则()

A．｜2｜＞｜-2｜ B．｜2｜＜｜-2｜

C．｜2｜＞｜2-｜ D．｜2｜＜｜2-｜

9．在中，已知是边上一点，，则()

A． B． C． D．

10．下列命题中，真命题的个数为()

①方向相同