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“解直角三角形应用”安徽中考题例析

摘 要：解直角三角形是初中数学的重要内容，把解直角三角形的有关知识应用到实际问题中去解决实际问题的试题成了中考的一个热点，它既体现了课标的要求，又体现了数学教学的方向。本文以安徽历年中考试题中解直角三角形的应用题为例加以分析，以及指出今后怎样学习这块知识，力争在中考中不丢一分。

关键词：解直角三角形应用，安徽中考，例析

引言：我们为什么要学习数学？数学教会了我们什么？中考中会考什么？双减政策之下，中考作为一项选拔性的考试，不仅要考查学生对知识掌握的程度，更加考查学生运用知识去分析问题和解决问题的能力，以及逻辑推理能力等。解直角三角形是初中数学中比较有特色的知识板块，一直是中考中必考点和热点。同时，学好解直角三角形可以为高中数学的三角函数做好准备。今天，我通过历年安徽中考试卷中有关解直角三角形的应用试题和大家共同探讨一下今后学习的方向。

一、历年中考中解直角三角形的应用试题分析

解直角三角形是在学习了直角三角形，勾股定理和三角函数的基础上学习的，它在中考中一直占有一定的比例，同时，中考数学考查解直角三角形有关知识的题型也不断创新，形式上覆盖了选择题，填空题和解答题等。今天，我就历年中考中出现的有关解直角三角形实际应用的试题加以分析，以便为了以后的教学工作积累经验。

有关方向角的问题

例1.（2022安徽中考第20题）如图，为了测量河对岸A，B两点间的距离，数学兴趣小组在河岸南侧选定观测点C测得A，B均在C的北偏东37?方向上，沿正东方向

行走90米至观测点D，测得A在D的正北方向，B在D的北偏西53?方向上。求A，B

两点间的距离。参考数据:sin37?≈0.60，cos37?≈0.80.tan37?≈0.75.

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图1

考点分析：解直角三角形的应用——方向角问题

题干分析：（1）要想求A,B两点间的距离，要么把AB放在直角三角形中，利用三角形的边角关系，结合三角函数直接求出。但本题分析后发现，虽然△ABD是直角三角形，但不能直接求出AB的长度。

由已知条件可得△ACD是直角三角形，CD=90米，解Rt△ACD可求出AC的长。

结合图中方向角可证明△BCD是直角三角形，再利用解Rt△BCD，可求出BC

的长。

根据线段之间的关系：AB=AC-BC可得出结果。

[详解]解:∵A，B均在C的北偏东37°方向上，A在D的正北方向上，且点D在点C的正东方。

∴△ACD是直角三角形，

∴∠BCD=90?-37°=53?，

∴∠A=90?-∠BCD=90?-53?=37°，

在Rt△ACD中，

CD=sin∠A，CD=90米,

AC

∴AC=

CD≈

sinA

90

0.60

=150(米)，

∵∠CDA=90°，∠BDA=53°，

∴∠BDC=90?-53°=37°，

∴∠BCD+∠BDC=37?+53°=90°，

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∴∠CBD=90°，即△BCD是直角三角形，

∴BC=sin∠BDC，

CD

∴BC=CD?sin∠BDC≈90×0.60=54(米)

∴AB=AC-BC=150-54=96(米)

答:A,B两点间的距离为96米.

解题反思：本题考查的是解直角三角形的应用中方向角问题，关键要理解正东方向，正北方向以及北偏东方向的概念。会判断一个三角形是否是直角三角形。通过线段间的和，差关系从而可求解。解直角三角形是初中数学的重要内容，利用直角三角形的边角关系解决生活中的实际问题。

解决生活实际问题

例2.（2021安徽中考第17题）学生到工厂劳动实践，学习制作机械零件。零件的截面如图阴影部分所示，已知四边形AEFD为矩形,点B、C分别在EF,DF上,∠ABC=90°,∠BAD=53°,AB=10cm,BC=6cm.求零件的截面面积。参考数据:sin53°≈0.80,cos53°≈0.60.

图2

考点分析：解直角三角形的应用——几何综合题

题干分析：（1）由于零件的截面并非是规则的几何图形，求其面积的话，可采用割补法。

根据题意要先证明∠EBA=∠BCF=53?.通过解Rt△ABE和Rt△BCF，求出BE,AE,CF,BF的值。

结合特殊的四边形矩形的性质以及根据S四边形ABCD=S矩形AEFD-S△ABE-S△BCF计算

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求解即可。

[详解]解:如图，

图3

∵四边形AEFD为矩形，∠BAD=53°，

∴EF//AB,∠EFD=90°

∴∠EBA=53°

∵∠ABC=90°,

∴∠EBA+∠FBC=90°

∵∠EFD=90°

∴∠FBC+∠BCF=90°

∴∠EBA=∠BCF=53°