2023年北京市初三二模数学试题汇编：解直角三角形及其应用.docx

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2023北京初三二模数学汇编

解直角三角形及其应用

一、单选题

1．（2023·北京石景山·统考二模）如图，在中，，．点P是边上一动点（不与C，B重合），过点P作交于点．设，的长为，的面积为，则与x，S与满足的函数关系分别为（???）

??

A．一次函数关系，二次函数关系 B．反比例函数关系，二次函数关系

C．一次函数关系，反比例函数关系 D．反比例函数关系，一次函数关系

二、解答题

2．（2023·北京顺义·统考二模）如图，，分别与相切于，两点，是的直径．

??

(1)求证：

(2)连接交于点，若，，求的长．

3．（2023·北京平谷·统考二模）在平面直角坐标系中，对于，其中，，给出如下定义：将边绕点逆时针旋转60°得到线段，连接，与的过点A的高线交于点，将点关于直线对称得到点，我们称为的留缘点．

??

(1)若，，请在图中画出的留缘点，并求出点的坐标；

(2)已知，，若线段上存在的留缘点，求的取值范围．

4．（2023·北京东城·统考二模）已知线段是的弦，点在直线上．对于弦和点，给出如下定义：若将弦绕点逆时针旋转得到线段，恰好也是的弦，则称弦关于点中心映射，点叫做映射中心，叫做映射角度．

??

(1)如图1，点是等边的中心，作交于点．在三点中，弦关于点_________中心胦射；

(2)如图2，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，的角平分线交轴于点．若与线段相交所得的弦关于点中心映射，直接写出的半径的取值范围；

(3)在平面直角坐标系中，的半径为2，线段是的弦．对于每一条弦，都有相应的点，使得弦关于点中心映射，且映射角度为．设点到点的距离为，直接写出的取值范围．

5．（2023·北京东城·统考二模）如图，的直径与弦相交于点，且，点在的延长线上，连接．

??

(1)求证：是的切线；

(2)若，求半径的长．

6．（2023·北京东城·统考二模）如图，在中，，点为中点，过点分别作的平行线，相交于点．

(1)求证：四边形为矩形；

(2)连接，若，求的长．

7．（2023·北京西城·统考二模）如图，在中，边绕点B顺时针旋转（）得到线段，边绕点C逆时针旋转得到线段，连接，点F是的中点．

??

(1)以点F为对称中心，作点C关于点F的对称点G，连接．

①依题意补全图形，并证明；

②求证：；

(2)若，且于H，直接写出用等式表示的与的数量关系．

8．（2023·北京海淀·统考二模）在平面直角坐标系中，对于和点(不与点重合）给出如下定义：若边，上分别存在点，点，使得点与点关于直线对称，则称点为的“翻折点”．

(1)已知，．

①若点与点重合，点与点重合，直接写出的“翻折点”的坐标；

②是线段上一动点，当是的“翻折点”时，求长的取值范围；

(2)直线与轴，轴分别交于，两点，若存在以直线为对称轴，且斜边长为2的等腰直角三角形，使得该三角形边上任意一点都为的“翻折点”，直接写出的取值范围．

9．（2023·北京昌平·统考二模）如图，是直径，是上一点，过点作直线，使．

(1)求证：是的切线；

(2)点是弧中点，连接并延长，分别交于点，若，，求线段的长．

参考答案

1．A

【分析】先求出，再求出，然后解得到，，进而得到，，由此即可得到答案．

【详解】解：∵在中，，，

∴，

∵，

∴，

∵，

∴，

在中，，，

∴，，

∴与x，S与满足的函数关系分别为一次函数关系，二次函数关系，

故选A．

【点睛】本题主要考查了解直角三角形，等边对等角，列函数关系式，正确求出，是解题的关键．

2．(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）根据切线长定理和切线的性质可得，，，根据等腰三角形三线合一性质可得，可得，，得到，从而得证；

（2）根据余弦，正弦的定义及勾股定理可得，从而有，，代入计算即可得出答案．

【详解】（1）证明：如图，连接，交于点．

∵、为的切线，

∴，，，

∴，，

∴，

∴，

∴，

∴．

??

（2）解：∵是的直径，

∴，

∵，，

∴，

∴，

∴，

∴，

∵，，

∴，

∴，

∴，

∴的长为．

??

【点睛】本题考查切线长定理，切线的性质，等腰三角形三线合一性质，直径所对的圆周角是直角，解直角三角形，勾股定理．正确的添加辅助线是解题的关键．

3．(1)

(2)或

【分析】（1）先根据题意画出图形，然后再说明四边形是菱形，即；再确定点P的坐标，最后根据关于确定点Q的坐标即可；

（2）设直线与y轴交于点，由题意可得的所有留缘点在以K为圆心为半径的圆上，然后分和两种情况，分别画出图像，根据勾股定理、两点间距离公式和圆的性质列方程求解即可解答．

【详解】（1）解：如图：当，时，点Q即为的留缘点，连接，

??

∵，，

∴，，，

∴是等边三角形，

∴，

∵将边绕点逆时针旋转60°得到线段，

∴，

∴是等边三角形，

∴，