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北京市北京师范大学附属实验中学2024-2025学年高二上学期10月月考数学试卷
2024年10月
本试卷共4页,共150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上,在试卷上作答无效.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.
第一部分(选择题,共40分)
一、选择题共10小题,每小题4分,共40分,在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.
1.在长方体中,化简()
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由向量加法的平行四边形法则求解可得.
如图,长方体中,由平行四边形法则可得,.
故选:D.
2.若向量,,则()
A. B.4 C.5 D.
【答案】A
【解析】
【分析】由空间向量坐标的加减运算,和模长公式计算即可.
由题意,得,
.
故选:A.
3.已知经过,两点的直线的一个方向向量为,那么()
A. B. C. D.2
【答案】A
【解析】
【分析】根据直线方向向量与斜率的关系求解.
由题意,解得:.
故选:A.
4.已知为平面的一个法向量,l为一条直线,为直线l的方向向量,则“”是“”的()
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】利用线面垂直的性质及其法向量与方向向量的关系,即可判断得出结论.
根据题意可知,如下图所示:
若,则可以在平面内,即,所以充分性不成立;
若,易知,由线面垂直性质可知,即必要性成立;
所以可得“”是“”的必要不充分条件.
故选:B
5.如图所示,直线的斜率分别为,则下列结论正确的是()
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】应用斜率与倾斜角的关系即可判断.
由,结合的函数图象,
直线对应的倾斜角为钝角,则,
直线与都为锐角,且的倾斜角大于的倾斜角,
则,故.
故选:C.
6.如图,在四面体中,,,,D为BC的中点,E为AD的中点,则可用向量,,表示为()
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用空间向量的基本定理,用,,表示向量.
因为是的中点,是的中点,
,.
故选:B
7.如图,在直三棱柱中,且,则直线与所成的角为()
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】建立空间直角坐标系,用向量方法求角,先求向量与的夹角,再转化为线线角即可.
如图,由题意,以为坐标原点,分别以所在直线为轴,建立空间直角坐标系.
不妨设,则,
则,
则,
又由两直线所成角的范围为,
则直线与所成的角为.
故选:C.
8.已知,过点的直线与线段不相交,则直线斜率的取值范围是()
A. B.
C.或 D.或
【答案】A
【解析】
【分析】求出直线的斜率,再结合图形即可得解.
因为,,
所以直线的斜率分别为,
由图形知,当或,即或时,直线l与线段AB相交,
所以直线与线段不相交时,直线l斜率k的取值范围为.
故选:A.
9.如图,在棱长为1的正方体中,为线段上的点,且,点在线段上,则点到直线距离的最小值为()
A. B. C. D.1
【答案】C
【解析】
【分析】建立空间直角坐标系,借助空间向量求出点到直线距离的函数关系,再求其最小值作答.
由题意以为原点,所在直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系:
因为正方体棱长为1,,
所以,
不妨设,
所以,
而,
所以点到直线的投影数量的绝对值为,
所以点到直线距离,
等号成立当且仅当,即点到直线距离的最小值为.
故选:C.
10.如图,在棱长为a的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中,P为A1D1的中点,Q为A1B1上任意一点,E、F为CD上任意两点,且EF的长为定值,则下面的四个值中不为定值的是()
A.点P到平面QEF的距离
B.直线PQ与平面PEF所成的角
C.三棱锥P﹣QEF的体积
D.二面角P﹣EF﹣Q的大小
【答案】B
【解析】
【分析】结合已知,分别计算点到平面的距离、直线与平面所成的角、棱锥的体积、二面角的大小,
观察它们的值可得到答案.
A选项:因为平面也是平面,既然和平面都是固定的,所以到平面的距离也是固定的,故A为定值.
B选项:因为是动点,也是动点,推不出定值结论,所以B不是定值.
C选项:因长为定值,所以的面积是定值,再根据选项A知:到平面的距离也是定值,所以C是定值.
D选项:因为,为上任意一点,、为上任意两点,所以二面角的大小为定值,所以D是定值.
故选:ABD.
【点睛】本题主要考查直线与平面所成角,二面角,三棱锥的体积以及点到面的距离,属于中档题.
第二部分(非选择题,共110分)
二、填空题共5小题,每小题5分,共25分.
11.若是直线的一个方向向量,则直线的倾斜角大小为______.
【答
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