等差数列的性质（课件）高二数学同步课件（人教A版2019选择性必修第二册）.pptx

学习目标：

1.理解等差数列的性质．(逻辑推理)

2．等差数列的实际应用．(数学建模)

3．能灵活运用等差数列的性质解决问题．(数学运算、逻辑推理)

1.等差数列的定义：

2.通项公式：

an-an-1=d（n≥2）或an+1-an=d(n∈N*)

an=a1+(n-1)d

由三个数a,A,b组成等差数列,则称A叫做a与b的等差中项.

3.等差中项：

知识回顾

(1)定义法：an＋1－an＝d(常数)(n∈N*)⇔{an}为等差数列．

(2)等差中项法：2an＋1＝an＋an＋2(n∈N*)⇔{an}为等差数列．

(3)通项公式法：an＝an＋b(a，b是常数，n∈N*)⇔{an}为等差数列．

an＝f(n)＝a1＋(n－1)d＝nd＋(a1－d)．

4、如何判断一个数列为等差数列

思考：几何意义是什么？

等差数列的性质

设{an}是公差为d的等差数列，那么

性质1an=a1+(n-1)d

性质3an=am+(n-m)d

a1、d、n、an中

知三求一

推导公式:任意两项an和am之间的关系:

考点1：等差数列通项公式的变形及其推广

即：①可以由等差数列中任意一项及公差直接得到通项公式，不必求a1。

②可以由等差数列的任意两项求公差。

等差数列中角标和的秘密

已知{an}是等差数列，用首项a1,公差d来表示下列各项

①a1+a5

②a2+a4

③a3+a3

=2a1+4d

=2a1+4d

=2a1+4d

你有什么发现？

①中两项角标和

等于②中两项角标和

等于③中两项角标和：1+5=2+4=3+3，

所以①=②=③

大胆假设

若m+n=p+q(m,n,p,q∈N*),则am+an=ap+aq

考点1：等差数列通项公式的变形及其推广

am=a1+(m-1)d,an=a1+(n-1)d

ap=a1+(p-1)d,aq=a1+(q-1)d

am+an=2a1+(m+n-2)d,ap+aq=2a1+(p+q-2)d

因为m+n=p+q所以am+an=ap+aq

结论：在等差数列中对任意四项，

当m+n=p+q(m,n,p,q∈N*),则am+an=ap+aq

思考：

当m+n+t=p+q+r时，

am+an+at=ap+aq+ar

成立吗？

同样成立

若m+n=p+q(m,n,p,q∈N*),则am+an=ap+aq

特别地：若m+n=2p(m,n,p∈N*),则am+an=2ap

[注]等式两边作和的项数必须一样多！

特例：常数列

结论：在等差数列中对任意四项，

当m+n=p+q(m,n,p,q∈N*),则am+an=ap+aq

推论

等差数列的性质

设{an}是公差为d的等差数列，那么

性质1an=a1+(n-1)d

性质3an=am+(n-m)d

性质5m,n,p,q∈N*，若m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq

性质6m,n,p∈N*，若m＋n＝2p，则am＋an＝2ap

法二：由等差数列的性质可知：

a3＋a7＝a4＋a6＝a2＋a8，

∴a2＋a4＋a6＋a8＝2(a3＋a7)＝2×37＝74.

等差数列运算的两条常用思路

(1)根据已知条件，列出关于a1，d的方程(组)，确定a1，d，然后求其他量．

(2)利用性质巧解，观察等差数列中项的序号，若满足m＋n＝p＋q＝2r(m，n，p，q，r∈N*)，则am＋an＝ap＋aq＝2ar.

考点2：等差数列中对称设项法的应用

已知一个等差数列的首项为a1，公差为d

a1，a2，a3，……an

（1）将前m项去掉，其余各项组成的数列是等差数列吗？如果是，他的首项与公差与项数分别是多少？

am+1，am+2，……an是等差数列

首项为am+1，公差为d，项数为n-m

考点3：等差数列的性质

已知一个等差数列的首项为a1，公差为d，

a1，a2，a3，……an

（2）取出数列中的所有奇数项，组成一个数列，是等差数列吗？如果是，他的首项与公差分别是多少？

a1，a3，a5，……是等差数列

首项为a1，公差为2d

取出的是所有偶数项呢？

a2，a4，a6，……是等差数列

首项为a2，公差为2d

思考：

已知一个等差数列的首项为a1，公差为d，

a1，a2，a3，……an

a7，a14，a21，……是等差数列

首项为a7，公差为7d

取出的是所有k倍数的项呢？

ak，a2k，a3k，……是等差数列

首项为ak，公差为kd

（3）取出数列中所有项是7的倍数的各项，组成一个数列，是等差数列吗？如果是，他的首项与公差是多少？

已知一个等差数列的首项为a1，公差为d，

a1，a2，a3，……an

（4）数列a1+a2，a3+a4，a5+a6，……是等差

数列吗？公差是多少？

a1+a2，a3