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（挑战压轴题）2023年中考数学【三轮冲刺】专题汇编（杭州专用）

—02挑战压轴题（填空题）

1．（2022·浙江杭州·统考中考真题）如图是以点O为圆心，AB为直径的圆形纸片，点C在⊙O上，将该圆形纸片沿直线CO对折，点B落在⊙O上的点D处（不与点A重合），连接CB，CD，AD．设CD与直径AB交于点E．若AD=ED，则∠B=_________度；BCAD的值等于_________

【答案】36

【分析】由等腰三角形的性质得出∠DAE=∠DEA，证出∠BEC=∠BCE，由折叠的性质得出∠ECO=∠BCO，设∠ECO=∠OCB=∠B=x，证出∠BCE=∠ECO+∠BCO=2x，∠CEB=2x，由三角形内角和定理可得出答案；证明△CEO∽△BEC，由相似三角形的性质得出，设EO=x，EC=OC=OB=a，得出a2=x（x+a），求出OE=a，证明△BCE∽△DAE，由相似三角形的性质得出，则可得出答案．

【详解】解：∵AD=DE，

∴∠DAE=∠DEA，

∵∠DEA=∠BEC，∠DAE=∠BCE，

∴∠BEC=∠BCE，

∵将该圆形纸片沿直线CO对折，

∴∠ECO=∠BCO，

又∵OB=OC，

∴∠OCB=∠B，

设∠ECO=∠OCB=∠B=x，

∴∠BCE=∠ECO+∠BCO=2x，

∴∠CEB=2x，

∵∠BEC+∠BCE+∠B=180°，

∴x+2x+2x=180°，

∴x=36°，

∴∠B=36°；

∵∠ECO=∠B，∠CEO=∠CEB，

∴△CEO∽△BEC，

∴，

∴CE2=EO?BE，

设EO=x，EC=OC=OB=a，

∴a2=x（x+a），

解得，x=5-1

∴OE=5-1

∴AE=OAOE=a5-12a=

∵∠AED=∠BEC，∠DAE=∠BCE，

∴△BCE∽△DAE，

∴，

∴BCAD

故答案为：36，3+5

【点睛】本题是圆的综合题，考查了圆周角定理，折叠的性质，等腰三角形的判定与性质，三角形内角和定理，相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．

2．（2021·浙江杭州·统考中考真题）如图是一张矩形纸片ABCD，点M是对角线AC的中点，点E在BC边上，把△DCE沿直线DE折叠，使点C落在对角线AC上的点F处，连接DF，EF．若MF=AB，则∠DAF=

【答案】18

【分析】连接MD，设∠DAF=x，利用折叠与等腰三角形的性质，用x的代数式表示出∠ADC=90°，列出方程解方程即可．

【详解】连接MD，设∠DAF=x

根据矩形的基本性质可知AM=MD，AD∥BC，∠BCD=∠ADC=90°

∴∠MDA=∠DAF=x，∠ACB=∠DAC=x

∴∠DMF=2x

∵△DCE折叠得到△DFE

∴DF=CD=AB，DE⊥FC，∠FDE=∠CDE

又MF=AB

∴MF=DF

∴∠MDF=2x

∵∠BCD=∠ACB+∠ACD=90°，∠EDC+∠FCD=90°

∴∠CDE=∠ACD=x

∴∠FDE=∠CDE=x

∴∠ADC=∠ADM+∠MDF+∠FDE+∠CDE=x+2x+x+x=5x=90°

∴x=18°

故∠DAF=18°

故答案为18．

【点睛】本题考查了矩形的折叠问题，能够做出合适的辅助线用∠DAF表示出∠ADC是解题关键．

3．（2020·浙江杭州·统考中考真题）如图是一张矩形纸片，点E在AB边上，把△BCE沿直线CE对折，使点B落在对角线AC上的点F处，连接DF．若点E，F，D在同一条直线上，AE＝2，则DF＝_____，BE＝_____

【答案】25﹣1

【分析】先根据矩形的性质得到AD=BC，∠ADC=∠B=∠DAE=90°，再根据折叠的性质得到，∠CFE=∠B=90°，EF=BE，然后根据全等三角形的性质得到DF=AE=2；最后根据相似三角形的性质即可得BE的值．

【详解】∵四边形ABCD是矩形

∴AD=BC，∠

∵把△BCE沿直线CE对折，使点B落在对角线AC上的点F

∴，∠CFE=∠B=90°，EF=BE

∴CF=AD，

∴∠

∴∠

在△ADE和△FCD中，∠

∴△

∴DF=AE=2

∵∠

∴∠

∵∠

∴△

∴AEDE=

∴2

解得EF=5-1或

则BE=EF=

故答案为：2，5-

【点睛】本题考查了矩形的性质、折叠的性质、三角形全等的判定定理与性质、相似三角形的判定与性质等知识点，根据矩形与折叠的性质，正确找出两个相似三角形是解题关键．

4．（2020·浙江杭州·统考中考真题）如图，已知AB是⊙O的直径，BC与⊙O相切于点B，连接AC，OC．若sin∠BAC＝，则tan∠BOC＝_____．

【答案】2

【分析】根据切线的性质得到AB⊥BC，设BC＝x，AC＝3x，根据勾股定理得到AB＝AC2-BC2＝＝

【详解】解：∵AB是⊙O