数列的通项公式与递推公式（课件）高二数学同步课件（人教A版2019选择性必修第二册）.pptxVIP

(第2课时)数列的通项公式与递推公式

数列的定义:

(1)按一定次序排列的一列数叫做数列.

(2)数列中的每一个数都叫做数列的项,

(3)各项依次叫做这个数列的第1项(首项)常用符号a1表示,第2项用符号a2表示…,第n项,…

(4)数列的一般形式可以写成

有时简记为

巩固复习

{an}.

数列的分类:

(1)按项的多少来分:

(2)按项数之间大小关系来分:

巩固复习

⑴一般表示法a1,a2,a3,…an,…

其中an表示数列的第n项。有时我们把上面的数列简记为{an}.

数列的三种表示方法

⑵解析表示法

通项公式表示.

数列的图象表示法

是一群孤立的点

通项公式：

如果数列的第n项与序号n之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式。

巩固复习

1.不是每一个数列都能写出其通项公式

2.数列的通项公式不唯一

如-1，1，-1，1，-1，….可写成和

3.已知通项公式可写出数列的任一项，因此通项公式十分重要。

注意

数列的几何意义：有穷数列表示有限个孤立的点。

无穷数列表示无限个孤立的点。

4.实质：

从映射、函数的观点看，数列可以看作是一个定义域为正整数集N*（或它的有限子集{1，2，…，n}）的函数，当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值，通项公式即相应的函数解析式。

巩固复习

1

3

9

27

考点1：利用归纳法求数列的通项公式

例1图中的一系列三角形图案称为谢尔宾斯基三角形.在图中4个大三角形中,着色的三角形的个数依次构成一个数列的前4项,写出这个数列的一个通项公式.

解：换个角度观察图中的4个图形，可以发现，

①a1=1,

②每个图形中的着色三角形都在下一个图形中分裂为3个着色小三角形和1个无色小三角形，

③从第2个图形开始，每个图形中着色三角形的个数都是前一个图形中着色三角形个数的3倍。

这样，例4中的数列的前4项满足a1=1,a2=3a1,a3=3a2,a4=3a3,由此猜测这个数列满足公式

考点2：数列的递推公式

递推公式:

如果已知数列的首项(或前几项)和递推公式，就能求出数列的每一项。

例如像an=3an-1(n≥2),如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的递推公式.

例题讲解

考点2：数列的递推公式

总结：递推公式也是给出数列的一种方法，根据数列的递推公式，可以逐次写出数列的所有项.

递推

9

an－1

n

10

引申1：已知数列{an}满足a1=1，an=an－1＋1(n≥2)，写出这个数列的通项公式.

解：（1）由递推式可得，

a2－a1=1，

a3－a2=1，

…

an－an－1=1

把以上n-1个式子相加,得an－a1=n－1

∴数列的通项为an=n（n∈N*）.

总结：一般递推关系为an+1=f(n)+an，即an+1-an=f(n)时，可用累加法求通项公式.

又a1=1,满足上式

考点2数列的递推公式

an=n(n≥2)

又∵n＝1时，a1＝－1，符合上式，】

∴an＝(n∈N*)

解：由递推式可得

又a1=1满足上式

考点2数列的递推公式

思维提升

我们把数列{an}从第1项起到第n项止的各项之和，称为数列{an}的前n项和，记作Sn,即

Sn=a1+a2+...+an

如果数列{an}的前n项和Sn与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的前n项和公式.

考点3：数列an的前n项和Sn

问题4数列的前n项和公式与数列的通项公式有何联系？

前n-1项之和

考点3：数列an的前n项和Sn

例题讲解

[例3]已知下面各数列{an}的前n项和Sn的公式,求{an}的通项公式．

(1)Sn＝2n2－3n；

(2)Sn＝3n－2.

解:(1)当n＝1时，a1＝S1＝2×12－3×1＝－1，

当n≥2时，Sn－1＝2(n－1)2－3(n－1)＝2n2－7n＋5，

则an＝Sn－Sn－1＝(2n2－3n)－(2n2－7n＋5)

＝2n2－3n－2n2＋7n－5

＝4n－5.

此时若n＝1，an＝4n－5＝4×1－5＝－1＝a1，

故an＝4n－5(n∈N*).

[例3]已知下面各数列{an}的前n项和Sn的公式,求{an}的通项公式．

(1)Sn＝2n2－3n；

(2)Sn＝3n－2.

总结：已知Sn求出an依据的是Sn的定义：Sn=a1+a2+…+an，