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二次函数与一次函数结合问题

二次函数与一次函数相结合的专题

一、知识点

1、二次函数的解析式求解：（待定系数法）

①一般式法：设二次函数为y=ax²+bx+c(a≠0)

使用这种方法求解时，通常题目会告诉我们二次函数经过

几个点的坐标。需要知道a、b、c的值，要求出三个点的坐标，

如果只知道两个系数，则需要两个点的坐标，如果只知道一个

系数，则需要一个点的坐标。将坐标代入函数，然后求解方程

组得到系数，就可以得到解析式。

例如：已知二次函数y=ax²+bx+c（a、b、c为常数）的图

像经过三点A（2,0），B（4，-6），C（1，-2），求这个二

次函数的解析式。

解：将A（2,0），B（4，-6），C（1，-2）代入

y=ax²+bx+c，得到三个方程：

①4a+2b+c=0

②16a+4b+c=-6

③a+2b+c=-2

解方程组得到a=-1，b=5，c=-6，因此二次函数的解析式

为y=-x²+5x-6.

②顶点式法：设二次函数为y=a(x-h)²+k(a≠0)

使用这种方法求解时，通常题目会告诉我们对称轴和顶点

坐标。在所设的函数中，对称轴就是x=h，因此顶点坐标是

（h，k）。只要告诉我们二次函数的顶点坐标，那么就知道了

h和k两个未知数（a，h，k）的值。需要再告诉我们函数上

一个点的坐标就可以求出a，即求出了解析式。

例如：已知某二次函数的顶点坐标为（1,5），且该函数

经过点A（0,7），求这个二次函数的解析式。

解：由题意，可设该二次函数为y=a(x-1)²+5，因为函数

经过点A（0,7），将A（0,7）代入函数得到：

a(-1)²+5=7

因此，a=2，所以二次函数的解析式为y=2(x-1)²+5，即

y=2x²-4x+7.

③交点式法：设二次函数为y=a(x-x₁)(x-x₂)(a≠0)

使用这种方法求解时，通常题目会告诉我们某二次函数与

x轴的两个交点的坐标。只需要再告诉我们函数上一个点的坐

标就可以求出a，即求出了解析式。

例如：已知某二次函数的图像与x轴相交于两点A（3,0）

和B（5,0），且该二次函数经过点C（6,6），求该二次函数

的解析式。

解：由题意，可设该二次函数的解析式为y=a(x-3)(x-5)，

因为二次函数经过点C（6,6），将C代入函数得到：

a(6-3)×(6-5)=6

因此，a=2，所以二次函数的解析式为y=2(x-3)(x-5)。

这类问题需要确定三角形的底和高，然后利用三角形面积

公式求出面积S。常见的求三角形面积的方法有直接公式法和

分割法（将三角形分成两个三角形的面积和）。例如，对于如

图所示的问题，二次函数y=x-2x-3与一次函数y=-2x+3相交

于两点A、B，二次函数的顶点为C，求三角形ABC的面积。

解：首先求出函数交于两点A、B的坐标。由方程x^2-

2x-3=-2x+3得到x1=-6和x2=6，因此y1=26+3，y2=-26+3.因

此点A的坐标为(-6,26+3)，点B的坐标为(6,-26+3)。

由y=x-2x-3=(x-1)-4得到顶点C的坐标为C（1,4）。过C

点作直线x=1，交于AB线段于点D。由一次函数y=-2x+3得

到D点坐标为D（1,1），因此DC=yD-yC=5/11.

由于直接以AB、BC或AC为底边求面积时，高比较难

确定，因此我们可以通过做直线x=1将三角形ABC分成两个

三角形AC