北师版高考理科数学一轮总复习课后习题 第4章 三角函数、解三角形 高考解答题专项二 三角函数中的综合问题.docVIP

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高考解答题专项二三角函数中的综合问题

1.(福建厦门双十中学高三月考)在△ABC中,∠ABC=90°,AB=3,BC=1,P为△ABC内一点,且PB⊥PC.

(1)若PB=12,求

(2)若∠APB=150°,设∠PBA=α,求tanα.

解:(1)由已知得∠BPC=90°,又PB=12

所以∠PBC=60°,所以∠PBA=30°.

在△PBA中,由余弦定理,得PA2=3+14-2×3×12cos30°=

(2)由已知得∠PBC=90°-α,所以PB=sinα,

在△PBA中,由正弦定理,得3sin150°=sinαsin(30

2.(北京海淀模拟)在△ABC中,a+b=10,A=60°,再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知,求:

(1)b的值;

(2)sinC及△ABC的面积.

条件①:c=5;条件②:cosB=13

解:方案一:选择条件①.

(1)因为c=5,cosA=cos60°=12

由余弦定理a2=b2+c2-2bccosA,即a2=b2+52-5b,

又由a=10-b,代入可得(10-b)2=b2+25-5b,解得b=5.

(2)由(1)可得a=10-5=5,所以a=b=c,即△ABC是等边三角形,所以C=60°,

可得sinC=32

所以S△ABC=12absinC=12

方案二:选择条件②.

(1)因为B∈(0,π),且cosB=1314,可得sinB=1-cos2B=3314,由正弦定理asinA=bsinB,可得ab

(2)由sinC=sin[π-(A+B)]=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB=32

所以S△ABC=12absinC=12×7×3

3.(广东深圳模拟)已知f(x)=2sinx+π2cosx-3cosπ2+2x.

(1)若x∈(0,π),求函数f(x)的值域;

(2)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若f(A)=2且△ABC的面积为23,当a=6时,求△ABC的周长.

解:(1)由题意,函数f(x)=2sinx+π2·cosx-3cosπ2+2x=2cos2x+3sin2x=2cos2x-1+3sin2x+1=cos2x+3sin2x+1=2sin2x+π6+1,

当x∈(0,π)时,sin2x+π6∈[-1,1],所以f(x)∈[-1,3],所以函数f(x)的值域为[-1,3].

(2)由(1)可得f(A)=2sin2A+π6+1=2,所以sin2A+π6=12.

因为A∈(0,π),可得2A+π6∈π6,13π6,所以2A+π

又由S△ABC=12bcsinA=23,可得

由余弦定理,得a2=b2+c2-bc=(b+c)2-3bc=(b+c)2-24,因为a=6,所以b+c=215

所以△ABC的周长为6+215

4.(浙江金华模拟)已知函数f(x)=sinx+π6·sinπ3-x+cos2x-π3.

(1)求函数f(x)的递增区间;

(2)若函数g(x)=fx+φ-π24-12,φ∈(0,π)且tanφ=34,求函数g(x)在区间0,π2上的取值范围.

解:(1)由题意可得sinx+π6=sinx-π3+π2=cosx-π3,

所以f(x)=-sinx-π3cosx-π3+cos2x-π3=-12sin2x-2π3+12cos2x-2π3+1=-12sin2x-2π3+12cos2x-2π3+12=-12sin2x+π3-π+12cos2x+π3-π+12=12sin2x+π3-12cos2x+π3+12=22sin2x+π3-π4+12=2

-π2+2kπ≤2x+π12≤π2+2kπ(k∈Z),解得-7π24+kπ≤x≤5π24+kπ(k∈Z),所以函数f(x)的递增区间为kπ-

(2)由题意及(1)可知g(x)=22

因为0≤x≤π2,2φ≤2x+2φ

又φ∈(0,π),且tanφ=sinφcosφ=34,sin2φ+co

则02φπ2,ππ+2φ3π

所以sin(π+2φ)=-sin2φ=-2sinφcosφ=-2425

所以-2425≤sin(2x+2φ)≤1,则-122

即g(x)在区间0,π2上的取值范围为-12225,22.