北师版高考数学一轮总复习课后习题 课时规范练25 利用导数研究函数的零点.docVIP

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课时规范练25利用导数研究函数的零点

1.(浙江杭州模拟)设函数f(x)=(x-1)2ex-ax,若曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为y=-2x+b.

(1)求实数a,b的值;

(2)判断函数f(x)零点的个数.

2.(河北唐山模拟)已知函数f(x)=ex(x+2),g(x)=12x2

(1)证明:当x≥0时,f(x)≥g(x);

(2)若函数h(的取值范围.

3.(四川成都模拟)已知函数f(x)=xe-x+asinx,e是自然对数的底数,若x=0恰为f(x)的极值点.

(1)求实数a的值;

(2)求f(x)在区间(-∞,π4)上零点的个数

4.(北京陈经纶中学模拟)已知函数f(x)=xe≥0).

(1)当m=0时,求函数f(x)的极小值;

(2)若函数f(的取值范围.

课时规范练25利用导数研究函数的零点

1.解(1)由题意可得f(x)=(x2-1)ex-a.

因为曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为y=-2x+b,

所以f(0

(2)由(1)知f(x)=(x-1)2ex-x,所以f(x)=ex[(x-1)2-xex],令g(x)=(x-1)2-

由于g(x)=(x-1)(2+1ex

当x1时,g(x)0,g(x)单调递增.

又g(0)=10,g(1)=-1e0,g(2)=1-2e20,所以g(0)g(1)0,g(1)g(2)0,由零点存在定理可得,?x1∈(0,1),使得g(x1)=0,?x2∈

2.(1)证明令k(x)=f(x)-g(x)=ex(x+2)-12x2-3x-2,则k(x)=ex(x+3)-x-3=(x+3)(ex-1),因为x≥0,所以k(x)=(x+3)(ex

(2)解h(x)=ex(=e,令h(x)=0,得e.函数h(与函数y=ex(x-2)的图象有两个不同的交点.

令w(x)=ex(x-2),则w(x)=ex(x-1),当x1时,w(x)0,当x1时,w(x)0,所以w(x)在(-∞,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增,因此w(x)在x=1处取得极小值,也是最小值,且w(1)=-e,又当x2时,w(x)=ex(x-2)0恒成立,当x→+∞时,w(x)→+∞,当x→-∞时,w(x)→0,要使函数h(∈(-e,0).

3.解(1)由题意得f(x)=1-xe

当x0时,1-xex0,故当x0时,1-

f(x)=1-xex-cosx=1-x-excosxex,令g(x)=1-x-excosx,则g(x)=-1-ex

(2)由(1)知f(x)=xe-x-sinx,f(x)=1-xex-cosx,当x0时,f(x)0,f(x)在(-∞,0)上单调递增,则f(x)f(0)=0,故f(x)在(-∞,0)上不存在零点;当0xπ4时,f(x)0,故f(x)在(0,π4)

综上所述,f(=0时,f(x)=xex,可得f(x)=(x+1)ex,令f(x)=0,解得x=-1.

当x∈(-∞,-1)时,f(x)0,f(x)单调递减;当x∈(-1,+∞)时,f(x)0,f(x)单调递增,所以函数f(=0,f(x)=xex,令f(x)=0,解得x=0,当x0时,f(x)0;当x0时,f(x)0,所以函数f(0,由f(x)=(),令f(=1e,此时f(x)≥0,可得f(x)在R上单调递增,且f(-1)=-1e0,f(1)=e-2e0,此时函数f(1e,可得lnm-1,令f()内单调递减,又由f(-1)0,f(lnm)f(-1)0,只需讨论f(1)=e-2m的符号,当1eme

③若0m1e,则lnm-1,令f(x)0,可得,令f(,-1)内单调递减,又由f(-1)0,f(1)=e-2m0,f(lnm)=-m2(lnm)2-m20,此时函数f(的取值范围为[0,