word完整版向量点乘内积和叉乘外积向量积概念及几何意义解读.docVIP

(word完整版)向量点乘(内积)和叉乘(外积、向量积)概念及几何意义解读

(word完整版)向量点乘(内积)和叉乘(外积、向量积)概念及几何意义解读

(word完整版)向量点乘(内积)和叉乘(外积、向量积)概念及几何意义解读

概念

向量是由n个实数组成的一个n行1列（n＊1)或一个1行n列(1＊n）的有序数组；

向量的点乘，也叫向量的内积、数量积,对两个向量执行点乘运算，就是对这两个向量对应位一一相乘之后求和的操作，点乘的结果是一个标量。

点乘公式

对于向量a和向量b：

????????????

a和b的点积公式为:

要求一维向量a和向量b的行列数相同。

点乘几何意义

点乘的几何意义是可以用来表征或计算两个向量之间的夹角，以及在b向量在a向量方向上的投影，有公式：

推导过程如下，首先看一下向量组成:

定义向量：

根据三角形余弦定理有：

根据关系c=a-b（a、b、c均为向量）有：

即：

向量a，b的长度都是可以计算的已知量,从而有a和b间的夹角θ：

根据这个公式就可以计算向量a和向量b之间的夹角。从而就可以进一步判断这两个向量是否是同一方向，是否正交(也就是垂直）等方向关系，具体对应关系为:

a·b0??方向基本相同,夹角在0°到90°之间

a·b=0??正交，相互垂直?

a·b〈0??方向基本相反，夹角在90°到180°之间?

叉乘公式

两个向量的叉乘,又叫向量积、外积、叉积,叉乘的运算结果是一个向量而不是一个标量。并且两个向量的叉积与这两个向量组成的坐标平面垂直。

对于向量a和向量b:

a和b的叉乘公式为：

其中:

根据i、j、k间关系，有：

叉乘几何意义

在三维几何中,向量a和向量b的叉乘结果是一个向量，更为熟知的叫法是法向量，该向量垂直于a和b向量构成的平面。

在3D图像学中，叉乘的概念非常有用，可以通过两个向量的叉乘，生成第三个垂直于a，b的法向量，从而构建X、Y、Z坐标系。如下图所示：

?

在二维空间中,叉乘还有另外一个几何意义就是：aXb等于由向量a和向量b构成的平行四边形的面积。