第三板块 大题增分练（一） 空间向量与空间角、距离.DOC

第三板块大题增分练（一）空间向量与空间角、距离

1.(2023·聊城模拟)如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，D是AA1的中点，E是CD的中点，点F在A1B上，且A1F＝3FB.

(1)证明：EF∥平面ABC；

(2)若AA1⊥平面ABC，AB⊥AC，AB＝AC＝AA1＝1，求平面DEF与平面EFC1夹角的余弦值．

解：(1)证明：如图，取AD的中点G，连接GE，GF，由D是AA1的中点，得A1G＝3GA，

因为A1F＝3FB，则eq\f(A1G,GA)＝eq\f(A1F,FB)＝3，从而GF∥AB.又GF平面ABC，AB平面ABC，即有GF∥平面ABC.因为G，E分别为AD，CD的中点，则GE∥AC，

又GE平面ABC，AC平面ABC，即有GE∥平面ABC.又GE∩GF＝G，GE，GF平面GEF，因此平面GEF∥平面ABC，因为EF平面GEF，所以EF∥平面ABC.

(2)如图，以A为坐标原点，eq\o(AB,\s\up6(―→))，eq\o(AC,\s\up6(―→))，eq\o(AA1,\s\up6(―→))分别为x轴、y轴、z轴的正方向，建立空间直角坐标系，

则Deq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，0，\f(1,2)))，Eeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)，\f(1,4)))，Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)，0，\f(1,4)))，C1(0,1,1)，从而eq\o(DE,\s\up6(―→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)，－\f(1,4)))，eq\o(EF,\s\up6(―→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)，－\f(1,2)，0))，eq\o(C1E,\s\up6(―→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－\f(1,2)，－\f(3,4))).设平面DEF的法向量为m＝(x，y，z)，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m·\o(DE,\s\up6(―→))＝\f(1,2)y－\f(1,4)z＝0，,m·\o(EF,\s\up6(―→))＝\f(3,4)x－\f(1,2)y＝0，))取x＝2，则y＝3，z＝6，得平面DEF的一个法向量为m＝(2,3,6)；设平面EFC1的法向量为n＝(a，b，c)，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(n·\o(EF,\s\up6(―→))＝\f(3,4)a－\f(1,2)b＝0，,n·\o(C1E,\s\up6(―→))＝－\f(1,2)b－\f(3,4)c＝0，))

取a＝2，则b＝3，c＝－2，得平面EFC1的一个法向量为n＝(2,3，－2)，

则cos〈m，n〉＝eq\f(m·n,|m||n|)＝eq\f(1,7×\r(17))＝eq\f(\r(17),119)，故平面DEF与平面EFC1夹角的余弦值为eq\f(\r(17),119).

2.(2023·合肥二模)如图，三棱台ABC-A1B1C1，AB⊥BC，AC⊥BB1，平面ABB1A1⊥平面ABC，AB＝6，BC＝4,BB1＝2，AC1与A1C相交于点D，eq\o(AE,\s\up6(―→))＝2eq\o(EB,\s\up6(―→))，且DE∥平面BCC1B1.

(1)求三棱锥C-A1B1C1的体积；

(2)平面A1B1C与平面ABC所成的角为α，CC1与平面A1B1C所成的角为β，求证：α＋β＝eq\f(π,4).

解：(1)∵平面ABB1A1⊥平面ABC，且平面ABB1A1∩平面ABC＝AB，AB⊥BC，BC平面ABC，∴BC⊥平面ABB1A1.∵BB1平面ABB1A1，

∴BC⊥BB1.又AC⊥BB1，BC∩AC＝C，BC，AC平面ABC，∴BB1⊥平面ABC.

连接C1B，∵DE∥平面BCC1B1，DE平面ABC1，平面ABC1∩平面BCC1B1＝C1B，∴DE∥C1B.∵eq\o(AE,\s\up6(―→))＝2eq\o(EB,\s\up6(―→))，∴eq\o(AD,\s\up6(―→))＝2eq\o(DC1,\s\up6(―→)).∴A1C1＝eq\f(1,2)AC.

∴在三棱锥C-A1B1C1中，底面△A1B1C1的面积S1＝eq\f(1,2)×2×3＝3，高h＝BB1＝2，∴其体积为V＝eq\f(1,3)S1h＝eq\f(1,3)×3×2＝2.

(2)证明：由题意及(1)得，以B为坐标原点，分别以eq\o(BA,\s\up6(―→