第五板块 微点专项练 运用二级结论快解题.DOC

第五板块微点专项练运用二级结论快解题

1．过双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a0，b0)上一点P作双曲线C的切线l，若直线OP与直线l的斜率均存在，且斜率之积为eq\f(2,5)，则双曲线C的离心率为()

A.eq\f(\r(29),5)B.eq\f(\r(30),3)C.eq\f(\r(35),5)D.eq\f(\r(30),5)

解析：选C设P(x0，y0)，由于双曲线C在点P(x0，y0)处的切线方程为eq\f(xx0,a2)－eq\f(yy0,b2)＝1，故切线l的斜率k＝eq\f(b2x0,a2y0).因为k·kOP＝eq\f(2,5)，所以eq\f(b2x0,a2y0)·eq\f(y0,x0)＝eq\f(2,5)，则eq\f(b2,a2)＝eq\f(2,5)，即双曲线C的离心率e＝eq\r(1＋\f(2,5))＝eq\f(\r(35),5).

2．(2023·菏泽模拟)设坐标原点为O，抛物线y2＝4x与过焦点的直线交于A，B两点，则eq\o(OA,\s\up6(―→))·eq\o(OB,\s\up6(―→))等于()

A.eq\f(3,4)B．－eq\f(3,4)C．3D．－3

解析：选D法一：抛物线y2＝4x的焦点为F(1,0)，

设直线AB的方程为x＝ty＋1，A(x1，y1)，

B(x2，y2)，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝ty＋1，,y2＝4x，))得y2－4ty－4＝0，Δ＝16t2＋160恒成立，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y1＋y2＝4t，,y1y2＝－4，))所以eq\o(OA,\s\up6(―→))·eq\o(OB,\s\up6(―→))＝x1x2＋y1y2＝eq\f(y\o\al(2,1),4)·eq\f(y\o\al(2,2),4)＋y1y2＝eq\f(16,16)＋(－4)＝－3.

法二：因为AB过抛物线的焦点，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2＝eq\f(p2,4)＝1，y1y2＝－p2＝－4，所以eq\o(OA,\s\up6(―→))·eq\o(OB,\s\up6(―→))＝x1x2＋y1y2＝－3.

3．已知F1，F2是椭圆C：eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1的两个焦点，P是椭圆上一点，∠F1PF2＝60°，则△PF1F2的面积是()

A．3 B．2

C.eq\f(4,3)eq\r(3) D.eq\r(3)

解析：选D根据焦点三角形面积公式，得S△PF1F2＝b2taneq\f(θ,2)，其中θ＝∠F1PF2，由题意知b2＝3，θ＝eq\f(π,3)，代入得S△PF1F2＝b2taneq\f(θ,2)＝3·taneq\f(π,6)＝eq\r(3).

4．已知椭圆E：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(ab0)的右焦点为F(3,0)，过点F的直线交椭圆于A，B两点，若AB的中点坐标为(1，－1)，则E的方程为()

A.eq\f(x2,45)＋eq\f(y2,36)＝1 B.eq\f(x2,36)＋eq\f(y2,27)＝1

C.eq\f(x2,27)＋eq\f(y2,18)＝1 D.eq\f(x2,18)＋eq\f(y2,9)＝1

解析：选D由题意知c＝3，即a2－b2＝9.

记AB的中点为P(1，－1)，由kAB·kOP＝－eq\f(b2,a2)，

得(－1)×eq\f(－1－0,1－3)＝－eq\f(b2,a2)，

∴a2＝2b2.又a2－b2＝9，∴a2＝18，b2＝9.

∴E的方程为eq\f(x2,18)＋eq\f(y2,9)＝1.

5．(2023·海南模拟)已知P是椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(ab0)上一动点，F1，F2是椭圆的左、右焦点，当∠F1PF2＝eq\f(π,3)时，S△F1PF2＝4eq\r(3)；当线段PF1的中点落到y轴上时，tan∠F1PF2＝eq\f(4,3)，则椭圆的标准方程为()

A.eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,12)＝1 B.eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,9)＝1

C.eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,12)＝1 D.eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,9)＝1

解析：选A设|PF1|＝m，|PF2|＝n，

当∠F1PF2＝eq\f(π,3)时，由题意知S△F1PF2＝b2taneq\f(θ,2)，

即4eq\r(3)＝b2