第一板块 创新强化练 “三角函数与平面向量”创新考法专训.DOC

第一板块创新强化练“三角函数与平面向量”创新考法专训

1．“α＝2kπ，k∈Z”是“tanα＝0”的()

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

解析：选Atanα＝0α＝kπ，k∈Z，故选A.

2．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且3a2－2b2＋2c2＝0，则()

A．tanB＝－3tanC B．tanB＝3tanC

C．tanB＝－5tanC D．tanB＝5tanC

解析：选C由3a2－2b2＋2c2＝0，得c2－b2＝－eq\f(3,2)a2.

所以cosB＝eq\f(a2＋c2－b2,2ac)＝eq\f(a2－\f(3,2)a2,2ac)＝－eq\f(a,4c)，

即4sinCcosB＝－sinA.

所以4sinCcosB＝－sin(C＋B)，

即4sinCcosB＝－sinCcosB－cosCsinB，

所以5sinCcosB＝－cosCsinB，

即tanB＝－5tanC.

3.由倍角公式cos2x＝2cos2x－1，可知cos2x可以表示为cosx的二次多项式，对于cos3x，我们有cos3x＝cos(2x＋x)＝cos2xcosx－sin2xsinx＝(2cos2x－1)cosx－2sinxcosxsinx＝4cos3x－3cosx，可见cos3x也可以表示为cosx的三次多项式．一般地，存在一个n次多项式Pn(t)，使得cosnx＝Pn(cosx)，这些多项式Pn(t)称为切比雪夫多项式．如图，在等腰△ABC中，已知∠BAC＝54°，AB＝AC，且△ABC的外接圆半径OC＝1，结合上述知识，可得BC＝(提示：18°×3＝90°－18°×2)()

A.eq\f(\r(5)＋1,2) B.eq\f(\r(5)－1,2)

C.eq\f(\r(5)＋1,4) D.eq\f(\r(5)－1,4)

解析：选A记BC的中点为D，则BC＝2BD＝2OBsin54°＝2sin54°＝2sin(90°－2×18°)＝2cos(2×18°)．∵cos54°＝4cos318°－3cos18°，

∴sin36°＝4cos318°－3cos18°，

即2sin18°cos18°＝4cos318°－3cos18°.

∴2sin18°＝4cos218°－3＝1－4sin218°，

即4sin218°＋2sin18°－1＝0.

∵sin18°0，∴sin18°＝eq\f(\r(5)－1,4).

∴BC＝2(1－2sin218°)＝2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－2×\f(6－2\r(5),16)))＝eq\f(\r(5)＋1,2)，故选A.

4.正多边形具有对称美的特点，很多建筑设计都围绕着这一特点展开．已知某公园的平面设计图如图所示，△ABC是边长为2的等边三角形，四边形ABDE，AGFC，BCHI都是正方形，则eq\o(AH,\s\up6(―→))·eq\o(IF,\s\up6(―→))＝()

A．4－2eq\r(3) B．－4－2eq\r(3)

C．2－4eq\r(3) D．－2－4eq\r(3)

解析：选B以I为原点，IH所在直线为x轴，IB所在直线为y轴建立平面直角坐标系，过F作FM⊥BC的延长线于点M，所以∠FCM＝eq\f(π,6)，故FM＝1，CM＝eq\r(3)，则I(0,0)，A(1,2＋eq\r(3))，H(2,0)，F(2＋eq\r(3)，3)，则eq\o(AH,\s\up6(―→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，－2－\r(3)))，eq\o(IF,\s\up6(―→))＝(2＋eq\r(3)，3)．所以eq\o(AH,\s\up6(―→))·eq\o(IF,\s\up6(―→))＝2＋eq\r(3)＋3(－2－eq\r(3))＝－4－2eq\r(3).故选B.

5．若一个函数同时具有：①最小正周期为π；②图象关于直线x＝eq\f(π,3)对称．请列举一个满足以上两个条件的函数________(答案不唯一，列举一个即可)．

解析：由①T＝eq\f(2π,ω)＝π，得ω＝2.

由②知feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)))取最大值或最小值，故满足条件的一个函数可以为y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,6)))，答案不唯一．

答案：y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\