专题14 指数与指数幂的运算（重难点突破）（原卷版）.docx

专题14指数与指数幂的运算

一、考情分析

二、基础知识

【知识点一、根式】

1．次方根的概念

一般地，如果____________，那么叫做的次方根，其中，．

2．次方根的性质

（1）当是____________时，正数的次方根是一个正数，负数的次方根是一个负数．这时，的次方根用符号表示．

（2）当是____________时，正数的次方根有两个，这两个数互为相反数．这时，正数的正的次方根用符号表示，负的次方根用符号表示．正的次方根与负的次方根可以合并写成．负数没有偶次方根．

（3）0的任何次方根都为0，记作．

3．根式的概念

式子叫做根式，这里叫做根指数，叫做被开方数．

4．根式的性质

根据次方根的意义，可以得到：

（1）；

（2）当为奇数时，；

（3）当为偶数时，．

【知识点二、实数指数幂】

1．分数指数幂

（1）我们规定正数的正分数指数幂的意义是．

于是，在条件下，根式都可以写成分数指数幂的形式．

（2）正数的负分数指数幂的意义与负整数指数幂的意义相仿，我们规定且

．

（3）0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义．

2．有理数指数幂

规定了分数指数幂的意义之后，指数的概念就从整数指数幂推广到了有理数指数．整数指数幂的运算性质对于有理数指数幂也同样适用，即对于任意有理数，均有下面的运算性质：

（1）____________；

（2）____________；

（3）____________．

3．无理数指数幂

对于无理数指数幂，我们可以从有理数指数幂来理解，由于无理数是无限不循环小数，因此可以取无理数的不足近似值和过剩近似值来无限逼近它，最后我们也可得出无理数指数幂是一个确定的实数．

一般地，无理数指数幂是一个确定的实数．有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂．

4．分数指数幂与整数指数幂的区别与联系

分数指数幂和整数指数幂都是有理数指数幂，都可以利用有理数指数幂的运算性质进行运算，这是他们相同的部分．整数指数幂表示的是相同因式的连乘积，而分数指数幂不可以理解为个a相乘．

三、题型分析

重难点突破1．分数指数幂与根式的转化

在解决根式与分数指数幂互化的问题时，应熟记根式与分数指数幂的转化公式．当要化简的根式为多重根式时，要搞清楚哪个是被开方数，由里向外用分数指数幂依次写出．

例1．（1）、（2022·广西·高二学业考试）（?????）

A．1 B． C． D．

（2）．（2021·全国·高一期中）化成分数指数幂为（）

A． B． C． D．

（3）．（2021·江苏省滨海中学高一期中）（多选题）下列根式与分数指数幂的互化正确的是（???????）

A． B．

C．当时， D．当时，

【变式训练1-1】．（2020·全国高一课时练习）已知，则化为（）

A． B． C． D．．

【变式训练1-2】．（2022·山东枣庄·高一期末）(多选)下列根式与分数指数幂的互化正确的是（???????）

A．

B．

C．)

D．

【变式训练1-3】、（2021·江苏·高一专题练习）（多选题）下列根式与分数指数幂的互化正确的是（???????）

A． B．

C． D．

重难点突破2．指数幂的运算

进行指数幂的运算时，一般化负指数为正指数，化根式为分数指数幂，化小数为分数，同时兼顾运算的顺序．对于含有字母的化简求值的结果，一般用分数指数幂的形式表示．

例2．（1）、（2016·天津市红桥区教师发展中心高一期中）计算：=____________.

（2）．（2021·全国高一课时练习）化简·的结果为（）

A． B．

C． D．

【变式训练2-1】、（2021·上海交大附中高一期中）已知，为正数，化简_______．

【变式训练2-2】、（2021·上海徐汇·高一期末）已知，化简=__________

【变式训练2-3】、（2022·江苏·高一）[多选题]下列根式与分数指数幂的互化正确的是（???????）

A． B．（）

C．（） D．（）

例3、（2021·北京师大附中高一期中）求值：________．

【变式训练3-1】、（2022·河北·石家庄市第十五中学高一开学考试）化简___________.

重难点突破3．知值求值问题

带有附加条件的求值问题，一般不求出单个式子或未知数的值，而是利用整体思想，将所求式子转化为已知的式子．

例4．（1）、（2022·新疆昌吉·高一期末）已知，则等于（）

A．2 B． C． D．±

（2）．（2021·江西省吉水中学高一阶段练习）（多选题）已知，则下列结论正确的是（???????）

A． B．

C． D．

【变式训练4-1】、（2021·全国·高一期中）若，则的值为（???????）

A． B． C． D．

【变式训练4-2】、（2022·浙江台州·高一