北师版高中数学必修第二册课后习题 第5章 复数 3.1 复数的三角表示式 3.2 复数乘除运算的几何意义.docVIP

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第五章*§3复数的三角表示

3.1复数的三角表示式

3.2复数乘除运算的几何意义

A级必备知识基础练

1.[江苏南京玄武期中]复数z=2-

A.2cosπ4

C.2cos7π4

2.4(

A.1+3i B.1-3i

C.-1+3i D.-1-3i

3.复数z=sinπ6-icosπ6,若zn=z(n

A.1 B.3 C.5 D.7

4.8i2(cos45°+isin45

5.在复平面内,把与复数-2+2i对应的向量绕原点O按逆时针方向旋转75°,求与所得向量对应的复数.

B级关键能力提升练

6.复数(sin10°+icos10°)(sin10°+icos10°)的三角形式是()

A.sin30°+icos30°

B.cos160°+isin160°

C.cos30°+isin30°

D.sin160°+icos160°

7.设z1=1-2i,z2=1+i,z3=-1+3i,则argz1+argz2+argz3=()

A.π2 B.3π2 C.5π

8.(多选)设z1,z2是复数,argz1=α,argz2=β,则arg(z1·z2)有可能是下列情况中的哪些()

A.α+β B.α+β-2π

C.2π-(α+β) D.π+α+β

9.若OZ1与OZ2分别对应复数z1=1+23i,z2=7+3i,求∠Z2OZ1,并判断

参考答案

*§3复数的三角表示

3.1复数的三角表示式

3.2复数乘除运算的几何意义

1.Cz=2-2i=222

故选C.

2.C4(cosπ+isinπ)2(cosπ3+isinπ3)=2cosπ-π3+isinπ-π3=2cos2π3

3.Cz=sinπ6-icosπ6=cos-π3+isin-π3,

z=cosπ3+isinπ3=cos-π3+isin-π3n=cos-nπ3+isin-nπ3.

又n∈N,∴n的最小值为5.

4.22+22i48i2(cos45°+isin45°)=

5.解所得向量对应的复数为(-2+2i)·(cos75°+isin75°)

=22(cos135°+isin135°)·(cos75°+isin75°)

=22[cos(135°+75°)+isin(135°+75°)]

=22(cos210°+isin210°)=22-32-1

=-6-

6.B(sin10°+icos10°)(sin10°+icos10°)=sin210°-cos210°+2sin10°cos10°i=-cos20°+sin20°i=cos160°+isin160°.故选B.

7.Cargz1+argz2+argz3=arg(z1z2z3)+2kπ,k∈Z.

∵z1z2z3=(1-2i)(1+i)(-1+3i)=10i,∴arg(z1z2z3)=π2.又3π2argz12π,argz2=π4,π2argz3π,∴argz1+argz2+argz3∈2π+π4,3π+π4,∴argz1+argz

8.AB设z1=r1(cosα+isinα),z2=r2(cosβ+isinβ),则z1z2=r1r2[cos(α+β)+isin(α+β)],

∴arg(z1z2)=α+β+2kπ(k∈Z)且arg(z1z2)∈[0,2π).

9.解∵z1z2=1+23i7+3i=(1+23i

又Z1(1,23),Z2(7,3),

∴Z1Z2=(6,-3),∴OZ1·Z1Z2=(1,23)·(6,-3)=1×6+23×(-3)=0,∴

∴△OZ1Z2是∠OZ1Z2=90°的直角三角形.