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证明序列卷积结合律

序列卷积运算是一种常见的信号处理运算。在序列卷积中，给定

两个长度为N的序列a和b，它们的卷积定义为：

c[i]=Σa[j]*b[i-j]，j=0,1,2,...,N-1，0≤i≤N-1

其中，*表示乘法运算，Σ表示求和运算。例如，当N=4时，序

列a和b的卷积为：

c[0]=a[0]*b[0]+a[1]*b[3]+a[2]*b[2]+a[3]*b[1]

c[1]=a[0]*b[1]+a[1]*b[0]+a[2]*b[3]+a[3]*b[2]

c[2]=a[0]*b[2]+a[1]*b[1]+a[2]*b[0]+a[3]*b[3]

c[3]=a[0]*b[3]+a[1]*b[2]+a[2]*b[1]+a[3]*b[0]

现在要证明序列卷积的结合律，即对于任意三个长度为N的序列

a、b和c，有：

(a*b)*c=a*(b*c)

为了证明这一结论，我们可以利用卷积的定义，将上式展开，然

后逐项验证左右两侧是否相等。

左侧展开为：

((a*b)*c)[i]=Σ(a*b)[j]*c[i-j]，j=0,1,2,...,N-1，0≤i

≤N-1

其中，(a*b)[j]表示序列a和b的第j项卷积，即：

(a*b)[j]=Σa[k]*b[j-k]，k=0,1,2,...,N-1，0≤j≤2N-2

将其代入上式，得：

((a*b)*c)[i]=ΣΣa[k]*b[j-k]*c[i-j]，k=0,1,2,...,N-1，

-1-

j=0,1,2,...,N-1，0≤i≤N-1

右侧展开为：

(a*(b*c))[i]=Σa[j]*(b*c)[i-j]，j=0,1,2,...,N-1，0≤i

≤N-1

同样地，(b*c)[j]表示序列b和c的第j项卷积，即：

(b*c)[j]=Σb[k]*c[j-k]，k=0,1,2,...,N-1，0≤j≤2N-2

将其代入上式，得：

(a*(b*c))[i]=Σa[j]*Σb[k]*c[i-j-k]，j=0,1,2,...,N-1，

k=0,1,2,...,N-1，0≤i≤N-1

现在我们需要证明对于任意的i，上述两个式子是相等的。为了

方便起见，我们将第一个式子中的a、b、c的下标分别改写为a[i]、

b[j]、c[k]，即：

((a*b)*c)[i]=ΣΣa[i]*b[j]*c[k]，i=j+k，0≤j,k≤N-1

同样地，将第二个式子中的a、b、c的下标分别改写为a[j]、

b[k]、c[i-j-k]，即：

(a*(b*c))[i]=ΣΣa[j]*b[k]*c[i-j-k]，j+k=i，0≤j,k

≤N-1

这样，我们就可以将原问题转化为证明以下等式成立：

ΣΣa[i]*b[j]*c[k]，i=j+k，0≤j,k≤N-1=ΣΣ

a[j]*b[k]*c[i-j-k]，j+k=i，0≤j,k≤N-1

为了证明这个等式，我们可以先考虑当i=0时的情况。此时，左

侧的求和式变为：

-2-

a[0]*b[0]*c[0]

右侧的求和式变为：

Σa[j]*b[k]*c[-j-k