北师版高考数学一轮总复习课后习题 课时规范练69 最值与范围问题 (2).docVIP

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课时规范练69最值与范围问题

1.(湖南衡阳模拟)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)左焦点为F,离心率为12,以坐标原点

(1)求C的方程;

(2)设点P(4,0),A,B是椭圆上关于x轴对称的两点,PB交C于另一点E,求△AEF的内切圆半径的取值范围.

2.(山东济宁模拟)已知中心在原点的双曲线C的右焦点为(2,0),实轴长为23.

(1)求双曲线C的标准方程;

(2)若直线l:y=kx+2与双曲线C的左支交于A,B两点,求k的取值范围;

(3)在(2)的条件下,线段AB的垂直平分线l1与y轴交于M(0,m),求m的取值范围.

3.(九省适应性测试,18)已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,过点F的直线l交C于A,B两点,过点F与l垂直的直线交C于D,E两点,其中点B,D在N过定点;

(2)设G为直线AE与直线BD的交点,求△GMN面积的最小值.

4.(山东潍坊模拟)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)的离心率为

(1)求椭圆C的标准方程.

(2)若动直线l:y=-12x+m(1≤m2)与椭圆C交于A,B两点,且在坐标平面内存在两个定点P,Q,使得kPAkPB=kQAkQB=λ(定值),其中kPA,kPB分别是直线PA,PB的斜率,kQA,kQB分别是直线QA,QB的斜率

①求λ的值;

②求四边形PAQB面积的最大值.

课时规范练69最值与范围问题

1.解(1)依题意c=|OF|=2

(2)因为AE不与x轴重合,所以设AE的方程为≠0).设点A(x1,y1)(y1≠0),E(x2,y2),则B(x1,-y1).联立x=my+t,x24+y23=1,消去2+4)y2+6mty+3t2-12=0,则Δ=48(3m2-t2+4)0,y1+y2=-6mt3m2+4,y1y2=3t2-123m2+4.因为P,B,E三点共线且直线PB的斜率一定存在,所以y2x2-4=

2.解(1)设双曲线的标准方程为x2a2-y2b2=1(a0,b0),由已知条件可知a=3,c=2,再由a2+b2=c

(2)设A(xA,yA),B(xB,yB),由y=kx+2,x23-y2=1,消去y,整理得(1-3k2)x2-62kx-9=0,由1-3k2≠0,得k≠±33.Δ=36(1-k2)0,即-1k1.因为点A,B在双曲线的左支上,所以x

(3)由(2)得xA+xB=62k1-3k2,xAxB=-91-3k2.所以yA+yB=kx

所以AB的中点P的坐标为(32k1-3k2,21-3k2).设直线l1的方程为y=-1kx+m,因为点P在直线l1上,所以

3.(1)证明由C:y2=4x,故F(1,0),由直线AB与直线DE垂直,故两条直线斜率都存在且不为0.设直线AB,DE的方程分别为2y+1,由l⊥DE,得m1m2=-1.设A(x1,y1),B(x2,y2),E(x3,y3),D(x4,y4).联立y2=4x,x=m1y+1,消去1y-4=0,Δ=16m12+160,故y1+y2=4m1,y1y2=-4,则x1+1y2+1=m1(y1+y2)+2=4m12+2,故x1+x22=2m12+1,y1+y22=2m1,即M(2m12+1,2m1),同理可得N(2m22+1,2m2).当2m12

(2)解由A(x1,y1),B(x2,y2),E(x3,y3),D(x4,y4),则直线AE的方程是y=y3-y1x3-x1(x-x1)+y1,由y12=4x1,y32=4x3,故y=y3-y1y324-y124x-y124+y1=4xy3+y1-y12y3+y

y2y3y4+y1y2y4-y1y3y4-y1y2y34(y4+y2-y3-y1)=-4(y2+y4-y1-y3)4(y4+y2-y

4.解(1)由题意得b2a2=1-c2

(2)①设A(x1,y1),B(x2,y2),P(与椭圆C:x26+y23=1联立,消去y,整理得32-12=0,Δ=16m2-12(4m2-12)=144-32m20,即-322m322,又1≤m2,所以1≤m2.注意到x1,x2为方程32-12=0的两根,故有恒等式32-12=3(x-x1)(x-x0+4m2-12=3(2-3=3(y-y1)(y-y2),则3y02-4my0+2m2-3=3(y0-y

所以4m(λ2(1-2λ)+3y02-3λx02-3+12λ=0,若kPAkPB为定值,则必有

②不妨设点P(-2,-1),点Q(2,1),点P,点Q到直线l的距离分别是d1,d2,

因为1≤m2,d1=2|m+2|5=2(m+2)

|AB|=1+(

=5

=5

四边形PAQB的面积S=12|AB|(d1+d2)=1

所以四边形PAQB面积的最大值是8