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（挑战压轴题）2023年中考数学【三轮冲刺】专题汇编（杭州专用）

—04挑战压轴题（解答题二）

1．（2022·浙江杭州·统考中考真题）如图，在Rt△ACB中，∠ACB=90°，点M为边AB的中点，点E在线段AM上，EF⊥AC于点F，连接CM，CE．已知∠A=50°，∠ACE=30°．

(1)求证：CE=CM．

(2)若AB=4，求线段FC的长．

【答案】(1)见解析

(2)

【分析】（1）根据直角三角形的性质可得MC=MA=MB，根据外角的性质可得∠MEC=∠A+∠ACE，∠EMC=∠B+∠MCB，根据等角对等边即可得证；

（2）根据CE=CM先求出CE的长，再解直角三角形即可求出FC的长．

【详解】（1）证明：∵∠ACB=90°，点M为边AB的中点，

∴MC=MA=MB，

∴∠MCA=∠A，∠MCB=∠B，

∵∠A=50°，

∴∠MCA=50°，∠MCB=∠B=40°，

∴∠EMC=∠MCB+∠B=80°，

∵∠ACE=30°，

∴∠MEC=∠A+∠ACE=80°，

∴∠MEC=∠EMC，

∴CE=CM；

（2）解：∵AB=4，

∴CE=CM=12AB=2，

∵EF⊥AC，∠ACE=30°，

∴FC=CE•cos30°=3．

【点睛】本题考查了直角三角形的性质，涉及三角形外角的性质，解直角三角形等，熟练掌握并灵活运用直角三角形的性质是解题的关键．

2．（2021·浙江杭州·统考中考真题）如图，在△ABC中，∠ABC的平分线BD交AC边于点D，AE⊥BC于点E．已知∠ABC=60°，∠C=45°．

（1）求证：．

（2）若AE=3，求△ABC的面积

【答案】（1）见解析；（2）

【分析】（1）根据题意证明∠BAC=∠ADB即可；

（2）根据特殊角的锐角三角函数求得BE、EC的长，用三角形面积公式计算即可．

【详解】解：（1）因为BD平分∠ABC，

所以∠DBC=12∠ABC=30°．

所以∠ADB=∠DBC+∠C=75°，

又因为∠BAC=180°-∠ABC-∠C=75°，

所以∠BAC=∠ADB，

所以．

（2）由题意，得BE=AEtan∠ABC=3，EC=AEtan∠C=3，

所以BC=3+3，

所以△ABC的面积为12BC⋅AE=9+332．

【点睛】本题主要考查等腰三角形的判定，根据特殊角的三角函数求边长，正确记忆特殊角的锐角三角函数值是解题关键．

3．（2020·浙江杭州·统考中考真题）如图，在正方形ABCD中，点E在BC边上，连接AE，∠DAE的平分线AG与CD边交于点G，与BC的延长线交于点F．设＝λ（λ＞0）．

（1）若AB＝2，λ＝1，求线段CF的长．

（2）连接EG，若EG⊥AF，

①求证：点G为CD边的中点．

②求λ的值．

【答案】（1）5﹣1；（2）①见解析；②λ＝

【分析】（1）根据AB＝2，λ＝1，可以得到BE、CE的长，然后根据正方形的性质，可以得到AE的长，再根据平行线的性质和角平分线的性质，可以得到EF的长，从而可以得到线段CF的长；

（2）①要证明点G为CD边的中点，只要证明△ADG≌△FGC即可，然后根据题目中的条件，可以得到△ADG≌△FGC的条件，从而可以证明结论成立；

②根据题意和三角形相似，可以得到CE和EB的比值，从而可以得到λ的值．

【详解】解：（1）∵在正方形ABCD中，AD∥BC，

∴∠DAG＝∠F，

又∵AG平分∠DAE，

∴∠DAG＝∠EAG，

∴∠EAG＝∠F，

∴EA＝EF，

∵AB＝2，∠B＝90°，点E为BC的中点，

∴BE＝EC＝1，

∴AE＝AB2+BE2＝5，

∴EF＝5，

∴CF＝EF﹣EC＝5﹣1；

（2）①证明：∵EA＝EF，EG⊥AF，

∴AG＝FG，

在△ADG和△FCG中

∠D=∠GCF∠AGD=∠FGCAG=FG，

∴△ADG≌△FCG（AAS），

∴DG＝CG，

即点G为CD的中点；

②设CD＝2a，则CG＝a，

由①知，CF＝DA＝2a，

∵EG⊥AF，∠GDF＝90°，

∴∠EGC+∠CGF＝90°，∠F+∠CGF＝90°，∠ECG＝∠GCF＝90°，

∴∠EGC＝∠F，

∴△EGC∽△GFC，

∴，

∵GC＝a，FC＝2a，

∴，

∴，

∴EC＝12a，BE＝BC﹣EC＝2a﹣12a＝32a，

∴λ＝．

【点睛】本题考查了正方形的性质、勾股定理的应用、全等三角形的判定及性质、相似三角形的判定及性质，熟练掌握相似三角形的判定及性质是解决本题的关键．

4．（2020·浙江杭州·统考中考真题）如图，在△ABC中，点D，E，F分别在AB，BC，AC边上，DE∥AC，EF∥AB．

（1）求证：△BDE∽△EFC．

（2）设AFFC=12，

①若BC＝12，求线段BE的长；

②若△EFC的面积是20，求△ABC的面积．

【答案】（1）见解析；（