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专题19解三角形综合题
1．（2022?新高考Ⅰ）记的内角，，的对边分别为，，，已知．
（1）若，求；
（2）求的最小值．
【答案】（1）；（2）
【详解】（1），，．
，
化为：，
，
，，
，
，．
（2）由（1）可得：，，，，
为钝角，，都为锐角，．
，
，当且仅当时取等号．
的最小值为．
2．（2021?新高考Ⅰ）记的内角，，的对边分别为，，．已知，点在边上，．
（1）证明：；
（2）若，求．
【答案】（1）见解析；（2）
【详解】（1）证明：由正弦定理知，，
，，
，，
即，
，
；
（2）法一：由（1）知，
，，，
在中，由余弦定理知，，
在中，由余弦定理知，，
，
，
即，
得，
，
，
或，
在中，由余弦定理知，，
当时，（舍；
当时，；
综上所述，．
法二：点在边上且，
，
，
而由（1）知，
，
即，
由余弦定理知：，
，
，
，
或，
在中，由余弦定理知，，
当时，（舍；
当时，；
综上所述，．
法三：在中，由正弦定理可知，
而由题意可知，
于是，从而或．
若，则，于是，
无法构成三角形，不合题意．
若，则，
于是，满足题意，
因此由余弦定理可得．
3．（2022?盐城一模）从①；②；③，这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并完成解答．
已知点在内，，，，，若_____，求的面积．
【答案】见解析
【详解】选择条件①：
，且，，或，
当时，，由余弦定理知，，
，解得，无法构成或，不符合题意，
当时，，由余弦定理知，，
，解得，
，
，，
．
选择条件②：，
，即，，
，，或，
当时，，由余弦定理知，，
，解得，无法构成或，不符合题意，
当时，，由余弦定理知，，
，解得，
，
，，
．
选择条件③：
，即，
，
在中，由余弦定理得，，
，
在中，由余弦定理知，，
，，
．
4．（2022?连云港二模）在平面四边形中，，，，．
（1）求的面积；
（2）求的长．
【答案】（1）；（2）
【详解】（1）中，由余弦定理得，，
即，
所以，
的面积；
（2）中，由正弦定理得，，
所以，
同理，中，由正弦定理得，
因为，，
所以，
所以，
所以，
所以．
5．（2022?南通模拟）在中，角，，所对的边分别为，，，，．从下面两个条件中任选一个作为已知条件，判断是否为钝角三角形，并说明理由．
①；②．
【答案】见解析
【详解】选择①，
由余弦定理知，，
所以，
因为，所以最大的角是，
而，
故是钝角三角形．
选择②，
由余弦定理知，，
所以，化简得，
解得或（舍负），
因为，所以最大的角是，而，
故不是钝角三角形．
6．（2022?江苏模拟）在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解决该问题．已知的内角，，的对边分别为，，，且，，________，求的面积．
【答案】见解析
【详解】选择条件①：依题意，，
在中，由正弦定理得，，
由余弦定理得：，
若为锐角，则，则，
则，又，解得，或，，
即有的面积为，
若为钝角，则，则，有，又，无解，舍去，
综上可得，的面积为．
选择条件②：因为，由余弦定理得：，
整理得：，即，
而，则，
若为锐角，则，有，
由余弦定理得：，
则有，又，解得，或，，
即有的面积为，
若为钝角，则，则，舍去，
综上可得，的面积为．
选择条件③因为，由余弦定理，
若为锐角，则，则，
则，又，解得，或，，
即有的面积为．
若为钝角，则，则，有，又，无解，舍去，
综上可得，的面积为．
7．（2022?南京三模）在中，记角，，所对的边分别为，，，已知．
（1）求；
（2）若，，求．
【答案】（1）；（2）
【详解】（1）由，可得，
由于，可得，
即为，
因为，所以，即；
（2），即，
则，且为锐角，
由，可得，
由，可得，
则，
即，
在中，由正弦定理可得，
则．
8．（2022?江苏模拟）在中，角，，所对的边分别为，，，且，．若是的中点，且，求的面积．
【答案】
【详解】在中，由余弦定理可得，
即，可得，，则为等腰直角三角形，
由，可得，
在中，，，
由正弦定理可得，
即，所以，
所以的面积为．
9．（2022?南通模拟）在中，角，，所对边分别为，，，，．
（1）证明：；
（2）求的面积的最大值．
【答案】（1）见解析；（2）
【详解】（1）证明：因为，，
所以，
由正弦定理得，
即，
所以；
（2）由余弦定理得，
所以，
所以的面积，
当即时，取得最大值．
10．（2022?苏州模拟）在中，，，分别是内角，，的对边，且满足．
（1）求角大小；
（2）若为锐角三角形，且，求周长的取值范围．
【答案】（1）；（2）
【详解】（1）因为．
由正弦定理可得，，
，
即，
所以，
所以，
，
，
故，
（2）由题意可得，，解可得，，
由正弦定理可得，，
故，，
，
所以，，
11．（2022?南
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