辽宁省沈阳一二〇中学2024-2025学年高二上学期第一次质量监测数学试题.docx

沈阳市第120中学2024-2025学年度高二上学期

第一次质量监测

科目：数学

满分：150分时间：120分钟

一、单选题：本大题共8小题，每题5分，共40分.在每小题提供的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.直线的一个方向向量是（）

A. B. C. D.

2.设，，，，且，，则（）

A. B. C.3 D.4

3.的最小值为（）

A. B. C.4 D.8

4.在棱长为1的正方体中，为的中点，则点到直线的距离为（）

A. B. C. D.

5.已知直线和以，为端点的线段相交，则实数的取值范围为（）

A. B. C.或 D.或

6.表示的曲线为（）

A.两个半圆 B.一个圆 C.半个圆 D.两个圆

7.若点是圆：上的任一点，直线：与轴、轴分别相交于、两点，则的最小值为（）

A. B. C. D.

8.已知点为平面直角坐标系内的圆上的动点，点，现将坐标平面沿轴折成的二面角，则，两点间距离的取值范围是（）

A. B. C. D.

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.下列说法错误的是（）

A.“”是“直线与直线互相垂直”的充要条件；

B.直线与直线互相平行，则；

C.过，两点的所有直线的方程为；

D.经过点且在轴和轴上截距都相等的直线方程为.

10.如图，四棱锥中，平面平面，侧面是边长为的正三角形，底面为矩形，，点是的中点，则下列结论正确的是（）

A.平面

B.与平面所成角的余弦值为

C.到平面的距离为2

D.四棱锥外接球的内接正四面体的表面积为

11.已知圆：，点是圆上的一点，则下列说法正确的是（）

A.圆关于直线对称

B.已知，，则的最小值为

C.的最小值为

D.的最大值为

三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上.

12.直线过点，且点到的距离为3，则直线的方程为______.

13.阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与阿基米德、欧几里得并称为亚历山大时期数学三巨匠，他研究发现：如果一个动点到两个定点的距离之比为常数（，且），那么点的轨迹为圆，这就是著名的阿波罗尼斯圆.若点到，的距离之比为，则点到直线的距离的最小值为______.

14.手工课上，老师给同学们提供了一个如图所示的木质正四棱锥模型，底边和侧棱长均为4，过点作一个平面进行切割，分别交、、于点、、，得到四棱锥，若，，则的值为______.

四、解答题：本大题共5小题，共77分.请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.（13分）

如图，三棱柱中，底面边长和侧棱长都等于1，.

（1）设，，，用向量，，表示，并求出的长度；

（2）求异面直线与所成角的余弦值.

16.（15分）

（1）已知中，顶点，，的平分线所在直线的方程为，求顶点的坐标；

（2）在中，点，边上的高线所在直线的方程为，边上的中线所在直线的方程为，求边所在直线的一般式方程.

17.（15分）

在平面直角坐标系中，点，，，且点在第一象限.记的外接圆为圆.

（1）求圆的方程；

（2）过点且不与轴重合的直线与圆交于，两点，是否为定值?若是定值，求出该值；否则，请说明理由.

18.（17分）

在多面体中，平面为正方形，，，二面角的平面角的余弦值为，且.

（1）证明：平面平面；

（2）若（），求平面与平面所成锐二面角的余弦值的取值范围.

19.（17分）

在空间直角坐标系中，已知向量，点.若直线以为方向向量且经过点，则直线的标准式方程可表示为（）；若平面以为法向量且经过点，则平面的点法式方程可表示为，一般式方程可表示为.

（1）若平面：，平面：，直线为平面和平面的交线，求直线的单位方向向量（写出一个即可）；

（2）若三棱柱的三个侧面所在平面分别记为、、，其中平面经过点，，，平面：，平面：，求实数的值；

（3）若集合，记集合中所有点构成的几何体为，求几何体的体积和相邻两个面（有公共棱）所成二面角的大小.

沈阳市第120中学2024—2025学年度高二上学期

第一次质量监测数学答案

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.B2.C3.B4.A5.C6.A7.A8.D

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.ACD10.BCD11.ABD

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.或13.14.

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.（1）

因为，

同