2023年北京市初三二模数学试题汇编：旋转变换.docx

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2023北京初三二模数学汇编

旋转变换

一、单选题

1．（2023·北京房山·统考二模）下列图形中，点O是该图形的对称中心的是（????）

A． B． C． D．

二、解答题

2．（2023·北京朝阳·统考二模）在中，，，点D在边上（不与点B，C重合），将线段绕点A顺时针旋转，得到线段，连接．

??

(1)根据题意补全图形，并证明：；

(2)过点C作的平行线，交于点F，用等式表示线段与之间的数量关系，并证明．

3．（2023·北京东城·统考二模）已知线段是的弦，点在直线上．对于弦和点，给出如下定义：若将弦绕点逆时针旋转得到线段，恰好也是的弦，则称弦关于点中心映射，点叫做映射中心，叫做映射角度．

??

(1)如图1，点是等边的中心，作交于点．在三点中，弦关于点_________中心胦射；

(2)如图2，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，的角平分线交轴于点．若与线段相交所得的弦关于点中心映射，直接写出的半径的取值范围；

(3)在平面直角坐标系中，的半径为2，线段是的弦．对于每一条弦，都有相应的点，使得弦关于点中心映射，且映射角度为．设点到点的距离为，直接写出的取值范围．

4．（2023·北京顺义·统考二模）已知：，，分别是射线，上的点，连接，以点为旋转中心，将线段绕着点逆时针旋转，得到线段，连接，．

(1)如图1，当时，求证：；

??

(2)当时，依题意补全图2，用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明．

??

5．（2023·北京西城·统考二模）如图，在中，边绕点B顺时针旋转（）得到线段，边绕点C逆时针旋转得到线段，连接，点F是的中点．

??

(1)以点F为对称中心，作点C关于点F的对称点G，连接．

①依题意补全图形，并证明；

②求证：；

(2)若，且于H，直接写出用等式表示的与的数量关系．

参考答案

1．B

【分析】根据中心对称图形的概念进行判断即可．

【详解】解：A、图形绕点O旋转72度与自身重合，点O是旋转中心，故此选项不符合题意；

B、图形绕点O旋转181度与自身重合，是中心对称图形，点O是对称中心，故此选项符合题意；

C、图形绕点O旋转120度与自身重合，点O是旋转中心，故此选项不符合题意；

D、图形绕点O旋转72度与自身重合，点O是旋转中心，故此选项不符合题意；

故选：B．

【点睛】本题考查的是中心对称图形的概念．中心对称图形是图形绕某点，旋转180度后与自身重合．这点叫该图形的对称中心．

2．(1)补全图形见解析，证明见解析；

(2)，证明见解析．

【分析】（1）根据旋转的方向和角度补全图形，再根据已知和旋转的性质求出，，进而可得结论；

（2）作于点M，与直线交于点N，利用证明，可得，，然后求出，可得，再利用证明即可．

【详解】（1）补全的图形如图所示：

??

证明：∵，

∴，

由旋转的性质可知，即，

∴；

（2）；

证明：如图，作于点M，与直线交于点N，

??

∴，

由旋转的性质可知，

由（1）可知，

∴，

∴，，

∵，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴，

∴，

∵

∴，

∴，，

∴，

∴．

【点睛】本题考查了画旋转图形，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，平行线的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质等知识，能够作出合适的辅助线构造出全等三角形是解题的关键．

3．(1)A

(2)

(3)

【分析】（1）根据题干中心映射的定义与旋转方向，判断弦是否仍在上．确定只有点A符合题意．

（2）讨论与线段相交成弦的范围，根据角平分线定理与比例性质求解．

（3）考虑到对称性与不失一般，将H点设在x轴上，方便得出d的取值范围．

【详解】（1）根据中心映射的定义，若将弦绕点逆时针旋转得到线段，恰好也是的弦，则称弦关于点中心映射，点叫做映射中心．由于是等边三角形，因此直线绕A点逆时针旋转，可使弦落在弦上．但直线绕B点、C点逆时针旋转后，弦无法与再相交成弦．

故只有点A符合映射中心的条件，如下图．

??

（2）如下图，的角平分线交轴于点，过D作，垂足为G．

??

则与线段EF相交所得的弦关于点E中心映射，此时的半径r的取值范围是．

在中，平分，过D作x轴的平行线，与EF交于H，

则，又，

所以，则．

由得，，所以

即，。

在直角三角形OEF中，．

∴，解得．

∵，

∴在直角与直角相似．

∴，即．

因此，．

所以，的半径r的取值范围是．即．

（3）考虑到对称性与不失一般性，为了研究问题的方便，设弦绕点H逆时针旋转得到线段，恰好也是的弦，且与交于x轴，见下图．

??

作与交于点F，再过F作的平行线，是的切线．则满足条件的弦最大为直径，最小应大于0，

所以，．当O与H重合时，，此时弦为直径；当H与E重合时，，此时弦长度为0．

故d的取值范围是：．

由已知条件知．

又因，故．

在