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学科培优数学

“位值原理与数的进制”

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知识定位

本讲是数论知识体系中的两大基本问题,也是学好数论知识所必须要掌握的知识要点。通过本讲的学习,要求学生理解并熟练应用位值原理的表示形式,掌握进制的表示方法、各进制间的互化以及二进制与实际问题的综合应用。并学会在其它进制中位值原理的应用。从而使一些与数论相关的问题简单化。

知识梳理

一、位值原理

位值原理的定义：同一个数字,由于它在所写的数里的位置不同,所表示的数值也不同。也就是说,每一个数字除了有自身的一个值外,还有一个“位置值”。例如“2”,写在个位上,就表示2个一,写在百位上,就表示2个百,这种数字和数位结合起来表示数的原则,称为写数的位值原理。

二、数的进制

我们常用的进制为十进制,特点是“逢十进一”。在实际生活中,除了十进制计数法外,还有其他的大于1的自然数进位制。比如二进制,八进制,十六进制等。

二进制：在计算机中,所采用的计数法是二进制,即“逢二进一”。因此,二进制中只用两个数字0和1。二进制的计数单位分别是1、21、22、23、……,二进制数也可以写做展开式的形式,例如100110在二进制中表示为：(100110)2=1×25+0×24+0×23+1×22+1×21+0×20。

二进制的运算法则是“满二进一”、“借一当二”,乘法口诀是：零零得零,一零得零,零一得零,一一得一。

注意：对于任意自然数n,我们有n0=1。

n进制：n进制的运算法则是“逢n进一,借一当n”,n进制的四则混合运算和十进制一样,先乘除,后加减；同级运算,先左后右；有括号时先计算括号内的。

例题精讲

【试题来源】

【题目】某三位数和它的反序数的差被99除,商等于与的差；与的差被9除,商等于与的差；与的和被11除,商等于与的和。

【答案】①(-）÷99=[(100a+10b+c)-(100c

+10b+a)]÷99=(99a-99c)÷99=a-c；②(-）÷9=[(10a+b)-(10b+a)]÷9=(9a-9b)÷9=a-b；③(+）÷11=[(10a+b)+(10b+a)]÷11=(11a+11b)÷11=a+b

【解析】本题属于基础型题型。我们不妨设a＞b＞c。①(-）÷99=[(100a+10b+c)-(100c

+10b+a)]÷99=(99a-99c)÷99=a-c；②(-）÷9=[(10a+b)-(10b+a)]÷9=(9a-9b)÷9=a-b；③(+）÷11=[(10a+b)+(10b+a)]÷11=(11a+11b)÷11=a+b。

【知识点】位值原理与数的进制

【适用场合】当堂例题

【难度系数】1

【试题来源】

【题目】如果×7=,那么等于多少？

【答案】15

【解析】×7＝（10a＋b）×7＝70a+7b=100a＋b化简为b＝5a,由于a、b都是一位自然数,推知a＝1,b＝5。

【知识点】位值原理与数的进制

【适用场合】当堂例题

【难度系数】1

【试题来源】

【题目】从1～9九个数字中取出三个,用这三个数可组成六个不同的三位数。若这六个三位数之和是3330,则这六个三位数中最小的可能是几？最大的可能是几？

【答案】951

【解析】设这三个数字分别为a、b、c。由于每个数字都分别有两次作百位、十位、个位,所以六个不同的三位数之和为222×（a＋b＋c）＝3330,推知a＋b＋c＝15。所以,当a、b、c取1、5、9时,它们组成的三位数最小为159,最大为951。

【知识点】位值原理与数的进制

【适用场合】当堂例题

【难度系数】2

【试题来源】

【题目】用1,9,7三张数字卡片可以组成若干个不同的三位数,所有这些三位数的平均值是多少？

【答案】573.5。

【解析】卡片“9”倒过来看是“6”。作为卡片“9”,由第3题的结果可知,1,9,7可组成的六个不同的三位数之和是（1＋9＋7）×222；同理,作为卡片“6”,1,6,7可组成的六个数之和是（1＋6＋7）×222。这12个数的平均值是：

［（1＋9＋7）＋（1＋6＋7）］×222÷12＝573.5。

【知识点】位值原理与数的进制

【适用场合】当堂例题

【难度系数】2

【试题来源】

【题目】a,b,c分别是0～9中不同的数码,用a,b,c共可组成六个三位数字,如果其中五个数字之和是2234,那么另一个数字是几？

【答案】652

【解析】由a、b、c组成的六个数的和是222×(a＋b＋c)。因为2234＞222×10,所以a＋b＋c＞10。

若a＋b＋c＝11,则所求数为222×11－2234＝208,2＋0＋8＝10≠11,不合题意。

若a＋b＋c＝12,则所求数为222×12－2234＝430,4＋3＋0＝7≠12,不合题