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西北师大附中2024—2025学年第一学期高三年级开学考试
高三数学
(范围:集合与不等式、函数、导数)
一、单选题(本题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题给出的选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.已知集合,则()
A. B. C. D.
2.函数的定义域是()
A. B. C. D.
3.若正数满足,则的最小值是()
A. B. C.4 D.6
4.吹气球时,气球的半径(单位:与体积(里位:之间的函数关系是,估计时,气球的膨胀率(即气球每增大单位体积时半径的增加量)为()
A. B. C.1 D.
5.命题“,”为真命题的一个必要不充分条件是()
A. B. C. D.
6.下列命题中正确的是()
A.若,则 B.若,则
C.若,,则 D.若,,则
7.已知函数,若均不相等且,则的取值范围为()
A. B. C. D.
8.设,,,则的大小顺序为()
A. B. C. D.
二、多选题(本题共3小题,共18分。在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求)
9.已知函数,若当的定义域为时实数的取值范围为集合,当的值域为时实数的取值范围为集合,则下列说法正确的是()
A. B. C. D.
10.已知,,,则下列说法正确的是()
A.的最大值为 B.的最小值为
C.的最小值为20 D.的最小值为
11.已知函数,的定义域均为为的导函数,且,,若为奇函数,则()
A. B.
C. D.
三、填空题(本题共3小题,每小题5分,共15分)
12.已知奇函数在定义域上是减函数,且则的取值范围为______.
13.已知是定义在上的奇函数,且,都有,当时,,则函数在区间内所有零点之和为______.
14.定义在上的函数满足,,若,则______,______.
四、解答题(本题共5小题,共77分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)
15.(本小题13分)计算:
(1)
(2).
16.(本小题15分)在平面直角坐标系中,对于点,若函数满足:,都有,则称这个函数是点的“1界函数”.
(1)若函数是点的“1界函数”,求需满足的关系;
(2)若点在函数的图象上,是否存在使得函数是点的“1界函数”?若存在,求出的取值范围:若不存在,说明理由.
17.(本小题15分)定义在上的函数满足:①,②,其中为任意正实数:③任意正实数满足时,恒成立.
(1)求、;
(2)试判断函数的单调性:
(3)如果,试求的取值范围.
18.(本小题17分)已知函数.
(1)对任意函数恒成立,求实数的取值范围;
(2)当时,求不等式的解集。
19.(本小题17分)已知函数,其中.
(1)若在单调递增,求的取值范围;
(2)若有三个极值点,记为且,求的取值范围.
西北师大附中2024—2025学年第一学期高三年级开学考试
高三数学
(范围:集合与不等式、函数、导数)
一、单选题(本题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题给出的选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.【考点】求集合的交集
【答案】C
【解析】集合故.
故选:C.
2.【答案】D
【解析】由得且,故定义域为.
3.【考点】运用基本不等式求最值
【答案】C
【解析】由题意可得,
当且仅当时等号成立,此时符合题意。所以的最小值为4.
故选:C.
4.【考点】导数的应用
【答案】A
【解析】由,知,
当时,.
故选:A.
5.【考点】充分条件、必要条件、充要条件
【答案】D
【解析】若,,则,
令,
则在递增,的最大值是,
故,则的一个必要不充分条件是,
故选:D.
6.【考点】不等关系与不等式;等式与不等式的性质
【答案】D
【解析】对于A,若,当时,则,故A错误;
对于B,比如,但是,故B错误;
对于C,由,,得,即,故C错误;
对于D,由,得,而,于是,故D正确.
故选:D.
7.【考点】函数的零点与方程根的关系
【答案】C
【解析】作出函数的图象如图,
不妨设,则
,,则.
故选:C.
8.【考点】构造函数比较大小、利用导数研究函教的单调性
【答案】B
【解析】令,,则,,
则,而,当时,,单调递增;当时,,单调递减,又,,即.
故选:B.
二、多选题(本题共3小题,共18分。在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求)
9.【考点】对数型复合函数的定义域、值域、集合的交与并
【答案】AD
【解析】,,,,故选AD.
10.【考点】不等式与基本不等式
【答案】ABD
11.【考点】基本初等函数的导数:函数的奇偶性
【答案】ABD
【解祈】已知函数,的定义域均为,
因为①,,②,
①-②可得,
又因为为奇函数,则,
可得即为偶函数,
则,即,
可得,
所以,的周期为8.
对于选项A:因为,
令,则,,
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