第12讲二元一次方程组的解法技巧之另类解法(原卷版+解析)-2021-2022学年七年级数学下册常考点(数学思想+解题技巧+专项突破+精准提升).docxVIP

打破常规创新求解

——二元一次方程组的另类解法

江苏海安市紫石中学黄本华226600

一、消常法

②①典例1解方程组

②

①

二、整体代入法

①②典例2解方程组

①

②

典例3解方程组

三、整体加减法

①②典例4解方程组

①

②

四、换元法

①②（1）整体换元法

①

②

典例5解方程组

（2）参数换元法（设k法）

②典例6解方程组①

②

①

典例7解方程组

均值换元法

②①典例8解方程组

②

①

专题提优训练

上面我给大家介绍了几种巧妙的非常规的解法，显然，巧妙的解法还是建立在代入消元法和加减消元法基础上的．我们在解二元一次方程组时，应根据方程组的特点，灵活选择合适的解法．

解下列方程组

1．解方程组

2．解方程组

3．解方程组

4．解方程组

5．解方程组：

6．

7．

8．3(x+y)+2(x?y)=10x+y

打破常规创新求解

——二元一次方程组的另类解法

江苏海安市紫石中学黄本华226600

二元一次方程组通常的解法是代入消元法和加减消元法,但有的二元一次方程组用这两种方法，却显得很麻烦，甚至解不出．这里给大家介绍几种非常规的解法,以后遇到解二元一次方程组,可以根据方程组的特征,灵活选择解法,迅速求得方程组的解．

一、消常法

②①典例1解方程组

②

①

思路引领：这个方程组，未知数的系数都很大，又没有倍数关系，显然用代入消元法和加减消元法都非常非常麻烦，但我们观察到常数项却有倍数关系，故可以采用消常法．

解法1①×2+②得，∴，

把①得，∴

所以

解法2①÷②得化简得：，以下解法同解法1

点睛：方程组中两个方程的常数项相等或互为相反数时，或成倍数关系的时候，都可以采用消常数项的方法来解，我们把这种方法叫消常法，消去常数项后，能更容易看出未知数之间的关系，达到化繁为简的目的．

二、整体代入法

①②典例2解方程组

①

②

思路引领：第2个方程可以变形成，第一个方程整体代入即可．

解：由②得③

把①代入③得：∴

把代入①得∴

点睛：1.本题用加减消元法也很简单，但容易发生符号错误，而用整体代入法则会避免发生符号错误．

2.本题也可将②两边加，得③，再把①代入③．

3.本题还可以把①变形得③，再把③代入②，

以上几种变形，目的都是整体代入，方法都很简便．

典例3解方程组

思路引领：把方程①、②都含有(x+y)项，不妨将其看作一个整体，

解：由①得(x+y)=③，将③代入②，得x=4，

将x=4代入③，得y=，则得原方程组的解为

三、整体加减法

①②典例4解方程组

①

②

思路引领：这个方程组的系数真是太大了，常规的代入消元和加减消元根本行不通，常数项也不便消．怎么办呢？我们观察到未知数的系数轮换对称，这时可采用反复加减的方法首先简化系数．

解：①＋②得：

③

②得：

∴④

③＋④得：

③－④得：

∴

点睛：虽然消元是解方程组的目的，但在不便消元时，我们可以迂回一下，通过反复加减先化简系数，然后再消元．

四、换元法

①②（1）整体换元法

①

②

典例5解方程组

思路引领：这个方程组中每个方程都含有、，所以可以用两个字母代替它们，从而达到简化方程组的目的．

解：设，则原方程组化为

解得：∴解得

点睛：这样的换元，就是把解一个复杂的方程组转化为解两个简单的方程组．

（2）参数换元法（设k法）

②典例6解方程组①

②

①

思路引领：这个方程组中第二个方程含“比”，这种特征用换元法比较简便．

③解：设把③代入①得

③

解得：，∴

典例7解方程组

思路引领：方程①是一个比例的形式，通常可以采用设k法

解：把方程①看成比例式，设其比值为k，即设=k，

可得x=5k-1，y=2k+3，代入②得k=1，则得原方程组的解为

点睛：在方程组中，某方程是比例式时，一般采用设比值法,将方程组中的两个未知数用同一个参数数表示出来．

均值换元法

②①典例8解方程组

②

①

思路引领：把2均分成1＋1，因此可设，再代入第二个方程即可．

③解：设把③代入②得∴

③

把代入③得∴

点睛：均值换元法适用于几乎所有的二元一次方程组，也不是很繁．参照例题，大家体会一下这个解法的妙处．本题在设参数的时候运用了整体思想，显得简便一点．如果这样设，就具有一般性．可以看到，设参数法能很快地达到消元的目的．

专题提优训练

上面我给大家介绍了几种巧妙的非常规的解法，显然，巧妙的解法还是建立在代入消元法和加减消元法基础上的．我们在解二