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丰城九中2024-2025学年上学期高三日新班
第一次段考试卷
考试时间:10月考试时长:120分钟
一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.设集合,则()
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据分式不等式的解法、交集的定义求解即可.
,则,即,,解得,
故,
又,故.
故选:B
2.欧拉公式把自然对数的底数、虚数单位、三角函数联系在一起,充分体现了数学的和谐美.已知实数指数幂的运算性质同样也适用于复数指数幂,则()
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由已知得出,然后指数运算可得结果.
因为,所以,.
故选:B.
3.已知抛物线C:的焦点为F,若点在C上,则的面积为()
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据已知条件,将点坐标代入抛物线方程,求得,求出,即可求得的面积.
将代入C的方程,得,故,
所以,则的面积.
故选:A.
4.已知,,则的最小值为()
A.3 B.4 C.5 D.6
【答案】B
【解析】
【分析】根据已知条件,结合基本不等式的公式,即可求解.
,,
当且仅当,即,时等号成立.
故选:B.
5.学校安排含唐老师、李老师在内的5位老师去3个不同的学校进行招生宣传,每位老师都必须选1个学校宣传,且每个学校至少安排1人.由于唐老师是新教师,学校安排唐老师和李老师必须在一起,则不同的安排方法有()
A.24种 B.36种 C.48种 D.60种
【答案】B
【解析】
【分析】把5位老师按和分组,再把分成的3组安排到3所学校,列式计算得解.
把5位老师按和分组,且唐老师和李老师在一起的不同分组方法数为,
所以不同的安排方法有(种).
故选:B
6.从的二项展开式中随机取出不同的两项,则这两项的乘积为有理项的概率为()
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】求出二项式展开式,再利用古典概型求出这两项的乘积为有理项的概率.
展开式通项为,
则二项展开式分别为:,,,
,,,
将这6项依次记:,
从的二项展开式中随机取出不同的两项有种情况,
所以这两项的乘积为有理项的基本事件为:,,,共6种情况,
所以这两项的乘积为有理项的概率为.
故选:A.
7.已知中,,角的平分线交于点,且,则面积的最大值为()
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】设,根据题意,利用平面向量的共线定理,得到,利用余弦定理,求得,得到面积,结合二次函数的性质,即可求解.
如图所示,设,
因为三点共线,可得,
设,所以,
又因为角的平分线交于点,四边形为菱形,可得,
所以,所以,
在中,由余弦定理得,
则,
所以的面积为,
当时,的面积取得最大值,最大值为.
故选:C.
8.已知函数存在零点,则实数的值为()
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】构造新函数,利用导数求单调性,再运用基本不等式即可求解
由得,
设,,
设,,
由得,由得,
所以在单调递增,在单调递减,所以,
而,
当且仅当,即时,等号成立,
因为有零点,则,所以,
故选:D.
二、多项选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得3分,有选错的得0分.
9.已知函数(,)的图象中相邻两条对称轴的距离是,先将的图象先向右平移个单位长度,再向上平移2个单位长度,得到函数的图象,若是偶函数,且最大值为4,则下列结论正确的是()
A.的最小正周期是 B.的图象关于直线对称
C.的图象关于点对称 D.在上单调递减
【答案】BD
【解析】
【分析】根据三角函数的性质即可确定函数的表达式为,即可根据代入验证法判断BC,根据整体法即可求解D.
由已知,A错误;所以,则,
所以,
因为是偶函数,所以,,即,,
而,所以,所以,
因为最大值为4,所以,则,所以,
因为,所以为一条对称轴,B正确;
由于,所以C不正确;
当时,此时单调递减,D正确,
故选:BD
10.已知函数,则下列说法正确的是()
A.函数的图像与函数的图像有且仅有一个公共点
B.函数的图像与函数的图像没有公切线
C.函数,则有极大值,且极大值点
D.当时,恒成立
【答案】ACD
【解析】
【分析】选项A,利用与的图象,知时,有一个交点,当,构造函数,利用导数,求出的单调区间,进而求得,即可求解;选项B,设出切点,利用导数的几何意义得到,将问题转化成求方程解的个数,即可求解;选项C,令,对求导,求出的单调区间,再利用极值的定义,即可求解;选项D,构造函数和,利用导数与函数单调性间的关系,得到,且等号不能同
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