[初中++数学]圆周角++课件++华东师大版数学九年级下册.pptxVIP

27.1.3圆周角

圆心角

圆周角

区别

顶点在圆心处

顶点在圆上

在同圆中，一条弧所对的圆心角唯一

在同圆中，一条弧所对的圆周角有无数个

联系

两边都和圆相交

1.圆周角的定义

顶点在圆上,并且两边都与圆相交的角，叫做圆周

鱼意：圆心角和圆周角的区别与联系：

2.圆周角的性质

半圆或直径所对的圆周角都相等，都等于90°(直角)

3.圆周角定理及其推论

定理锰同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角,都等于该弧所对等圆心角的

相等的圆周角所对的弧直径

推论1:90°的圆周角所对的强是

推论2:圆内接四边形的对角

4.圆的内接多边形

如果一个圆经过一个多边形的各个顶点，这个圆就叫做这个多边形的外接圆，这个多边形叫做这个圆的内接多边形，

M

运用圆周角定理及其推论1进行计算

例1(1)如图1,0O上有A、B、C三个点，其中AC平分∠OAB,若∠AOB=80°,则∠CBO的度数是()

A.40°B.50°

C.65°D.75°

图2图3

(3)如图3,点A、B、C、D在○O上，CB=CD,∠CAD=30°,∠ACD=50°,则∠ADB=70

(2)如图2,AB是⊙O的直径，若AC=2,∠D=60°,则BC的长等

于(D)

A.4B.5C.√3D.2√3

1.(2024·宜宾)如图，AB是⊙O的直径，若∠CDB=60°,则

∠ABC的度数等于(A)

A.30°B.45°C.60°D.90°

跟踪训练

2.如图，AB为⊙O的直径，点C、D在⊙O上，且AC=BC=2,∠BCD=30°,则BD的长为(C)

CA

3

1

[第3(1)题][第3(2)题]

(2)如图，点A、B、C在00

上，∠CAB=30°,∠CBA=45°,√2

CD⊥AB于点D.若⊙O的半径为2,则CD的长为

3.(1)如图，A、B、C、D是⊙O上的四个点，AB=BC,

∠AOB=58°,则∠BDC=o;

运用圆周角定理及其推论1进行证明

例2如图，在△ABC中，AB=AC,以AB为直径的⊙0交AC于点E,交BC于点D.求证：

(1)点D是BC的中点；

[分析](1)因为AB=AC,欲证

点D是BC的中点，根据等腰三

角形“三线合一”的性质可知，只

需证AD⊥BC即可；

证明：(1).AB是⊙O的直径，

.∴∠ADB=90°,即AD是△ABC边BC

上的高，

又：AB=AC,.∴△ABC.点D是BC的中点

是等腰三角形，

(2)△BECco△ADC,

[分析](2)利用“同弧所对的圆周角

相等”证得∠CBE=∠CAD,再由公

共角∠C,即可得证；

(2):∠CBE与∠CAD都是DE所对的圆周角，

.∴∠CBE=∠CAD.

又：∠C=∠C,.:△BEC一△ADC.

(3)BC²=2ABCE.

[分析](3)欲证BC²=2AB·CE,可由△BECc△ADC,得到

CD·BC=AC·CE,再利用点D是BC的中点及AB=AC即可转

化得证△BEC-矢

即CD.BC=ACCE.

点D是BC的中点，

又：AB=AC,

E,

.∴BC²=2AB.CE.

[方法总结]运用同弧所对的圆周角相等是圆中证明角

相等常用到的方法，再结合相似三角形、勾股定理等知识解决问题，

跟踪训练

4.如图，AD平分∠BAC,A、B、C、D在同一圆上，∠ABC的平分线交AD于点E.

(1)求证：DE=DB;

(1)证明：:AD平分∠BAC,BE平分∠ABC,B

∠ABE=∠CBE,∠BAE=∠CAD,

.∴BD=CD,.∠DBC=∠BAE.

∠DBE=∠CBE+∠DBC,∠DEB=∠ABE

+∠BAE,

∠DBE=∠DEB,.:DE=DB.

(2)若∠BAC=90°,BD=5,求该圆的半行

(2)解：如答案图所示，连结CD,

由(1)得BD=CD,

∴CD=BD=5.

:∠BAC=90°,

.∴BC是直径，∴∠BDC=90°,

:BC=√BD²+CD²=5√2,

.:该圆的半径