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新课程背景下数学分析教学研究

数学分析是数学专业最重要的基础课程之一。2003年颁布的《普通高中数

学课程标准（实验稿）》增加了一些数学分析中的内容，如定积分，零点存在定

理等。但是高中增加的内容并不是大学内容的直接下放，经过了化简，并且更注

重数学思想的渗透。为此大学数学分析教学应该针对新课改的情况作出适当调

整，以便更好的促进学生的学习。本文将结合极限、泰勒公式、导数的应用等具

体内容的教学设计，分析如何在新课程背景下进行数学分析教学。

标签：数学分析；教学；极限；泰勒公式；导数

2003年《普通高中数学课程标准（实验稿）》（一下简称《课标》）颁布以来，

已经逐步在全国范围内推广，到2012年广西壮族自治区也采用了课标版教科书，

从此全国范围内均采用课标版教科书。与之前的《全日制普通高级中学数学教学

大纲》相比，课标增加了很多新的学习内容，如积分、合情推理、数学史等，同

时对以往的内容，如导数、极限等进行了重新定位。这样进入大学学习数学专业

的学生已经对数学分析的有些内容有了初步了解，但是大学的数学分析教材并没

有改变，这就要求教师在教学中应当做适当调整，以更好的促进学生的学习，提

高学习效果。

另外，《课标》非常强调数学思想方法的教学，数学模型的应用价值等。那

么大学数学专业课程的教学中，教师要继续发扬《课标》中的理念，不但教会学

生知识，更要教会学生方法，这才是使得学生受益终身的内容。

本文将结合一些具体教学内容，如极限、泰勒公式、导数等，谈谈如何在新

课程背景下进行大学数学分析教学。

1极限教学

2000年颁布的《全日制普通高级中学数学教学大纲》已将极限内容下放到

中学，虽然《课标》中又删除了极限内容，但是在讲导数时还要用到极限的概念，

所以很多中学老师依然补充了这部分知识，很多中学生都会计算一些简单的数列

极限与函数极限。但是中学生所接触的极限都是很直观初等的。并没有精确的给

出极限的概念。而很多学生进入大学学习数学分析，就要接触、语言，这是中学

数学完全没有接触过的。学生往往感到困惑，为何要这样定义极限，这是因为中

学所学的都是从直观角度入手，要引发学生的认知冲突，如果不向学生展示引出

极限概念的必要性，而直接给出严格定义，学生陷于形式化的符号中，容易丧失

学习的兴趣。

学生经过计算讨论后，自然可以发现有些数列随着增大会趋于稳定，而有的

则不是定值。但是对于最后一个数列学生会得出不同的结论，在教师引导下学生

们自然会发下，以高中知识无法解决这个问题，引发了认知冲突，这样就引出了

精确定义极限概念的必要性。学生才会明白中学里没有精确给出极限定义，这样

有些数列是否有极限是不能确定的。这样的教学设计充分体现了学生在学习中的

主体作用，由教师的教转向学生的学，学生既感受到学习新知识的原因，同时也

体会到了归纳在数学学习中的重要作用，这样安排教学比直接给出极限定义要好

得多。

2实数连续性定理教学

实数连续性六大定理（闭区间套定理、确界定理、有限覆盖定理、聚点定理、

致密性定理、柯西收敛准则）历来是教学难点。造成教学困难的有如下几点。首

先学生在初中就学习到了无理数，但是初中的无理数引入主要是通过“开方不尽

数”的，这种引入很自然，符合学生的认知规律。但是这种引入方式虽然简单，

但是“开方不尽数”只有极为少数的无理数，是可数的，而我们知道无理数是不可

数的。但是初中生还没有接触这些概念，他们就会认为无理数就是“开方不尽数”。

而这时又从另外一个角度来定义无理数，学生在心理上是没有准备的，因此很难

理解。第二个原因在于这六大定理过于形式化，充满了精确的数学语言，如确界、

聚点等，又有大量抽象的符号等，学生在理解这些名词符号上就好花费很多时间，

自然也影响了对于定理所表达的实质内容的理解。因此教师在教学时，要进行学

情分析，要清楚的了解学生学习的难点困惑所在。为次考虑到高中已经开设了数

学史选讲，并且“类比”这一重要的数学思想方法已经进入了教科书，结合这些特

点，进行如下教学设计。

实数理论的奠基是与微积分的严密化紧密联系在一起的。而中学已经简单的

介绍了数系扩充的历史，并且简要介绍了微积分的发展历程。因此教师在教学时

不妨先让学生回顾为什么数系要扩充，学生很容易回答出是运算的封闭性要求数

系要扩充。然后再引导学生考虑无理数是如何扩充的？学生自然会想到开方运

算，但是教师还要引导学生去思考是如何计算出来的，还是利用开方运算吗？这

样就引起了学