北师版高中数学必修第二册课后习题第6章 §6 6.3 球的表面积和体积.docVIP

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6.3球的表面积和体积

课后训练巩固提升

A组

1.两个半径为1的铁球,熔化成一个大球,这个大球的半径为().

A.2 B.2

C.32 D.

2.等体积的球和正方体的表面积S球面与S正方体表的大小关系是().

A.S正方体表S球面

B.S正方体表S球面

C.S正方体表=S球面

D.无法确定

3.阿基米德是伟大的古希腊数学家,他和高斯、牛顿并列为世界三大数学家,他一生最为满意的一个数学发现就是“圆柱容球”定理,即圆柱容器里放了一个球,该球顶天立地,四周碰边(即球与圆柱形容器的底面和侧面都相切),球的体积是圆柱体积的三分之二,球的表面积也是圆柱表面积的三分之二.今有一“圆柱容球”模型,其圆柱表面积为24π,则该模型中球的体积为().

A.323π B.4π

C.8π D.82

4.正方体的内切球与其外接球的体积之比为().

A.1∶3 B.1∶3

C.1∶33 D.1∶9

5.一平面截一球得到直径是6cm的圆面,球心到这个圆面的距离是4cm,则该球的体积是().

A.100π3cm3 B.208π3

C.500π3cm3 D.41613

6.如图,在等腰梯形ABCD中,AB=2DC=2,∠DAB=60°,E为AB的中点,将△ADE与△BEC分别沿ED,EC向上折起,使A,B重合于点P,则三棱锥P-DCE的外接球的体积为().

A.43π27

C.6π8

7.已知正方体的体对角线长等于23cm,它的顶点中有4个在半球O的底面上,另外4个在半球O的表面上,那么半球O的体积为cm3.(结果保留π)?

8.某组合体的直观图如图,它的中间为圆柱体,左右两端均为半球体,若图中r=1,l=3,试求该组合体的表面积和体积.

B组

1.在一个倒置的正三棱锥容器内,放入一个钢球,钢球恰好与棱锥的四个面都接触,经过棱锥的一条侧棱和高作截面,正确的截面图形是().

2.设三棱锥P-ABC的侧棱PA,PB,PC两两垂直,且长度分别为2,3,1,如图,若点P,A,B,C都在同一个球面上,则该球的表面积为().

A.49π B.196π

C.14π D.28π

3.将棱长为2的正方体木块削成一个体积最大的球,则该球的体积为().

A.4π3 B.2

C.3π2

4.若过球的一条半径的中点,作垂直于该半径的平面,则所得截面的面积与球的表面积的比值为().

A.316 B.9

C.38 D.

5.已知一所有棱长都相等的三棱锥的内切球的体积是1,则该三棱锥的外接球的体积是().

A.27 B.16

C.9 D.3

6.如图,在半径为2的半球内有一个内接正六棱锥P-ABCDEF,则此正六棱锥的侧面积是.?

7.圆柱形容器内盛有高度为8cm的水,若放入三个相同的球(球的半径与圆柱的底面半径相等)后,水恰好淹没最上面的球,如图,则球的半径是cm.?

8.轴截面是正三角形的圆锥内有一个内切球,若圆锥的底面半径为1cm,求球的体积.

9.在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=6,BC=8,AA1=6.

(1)求三棱锥D1-ABC的体积;

(2)在三棱柱ABC-A1B1C1内放一个体积为V的球,求V的最大值.

答案：

A组

1.C设熔化后的球的半径为R,则其体积是原来小球的体积的2倍,

即V=43πR3=2×43π×13,得R=

2.A设正方体的棱长为a,球的半径为R,由题意,得V=43πR3=a3,∴a=3V,R=

∴S正方体表=6a2=63V2=3216V2

3.A由题可知球的表面积为圆柱表面积的三分之二,

设球的半径为R,则S=23×24π=16π=4πR2,∴R=2,∴V=43πR3=

4.C设正方体的棱长为a,则它的内切球的半径为12a,它的外接球的半径为32a,故所求的比为1∶3

5.C根据球的截面的性质,得球的半径R=32+42=5(cm),所以V球=43πR3

6.C折起后的几何体是一个所有棱长都为1的三棱锥P-CDE,该三棱锥可以看作由棱长为22

我们容易求得该三棱锥外接球的半径为64,所以外接球的体积V=4

7.46π设此正方体为ABCD-A1B1C1D1,过正方体的体对角线A1C作截面,如图所示.

设半球O的半径为R.由题意知A1C=23cm.又AC2+AA12=A1C2,其中AC=2AA

∴3AA12=12,∴A1A=2cm,AC=2

连接A1O,则A1O=R=A1

∴半球O的体积V=12×43πR3=12×43π×(

8.解该组合体的表面积S=4πr2+2πrl=4π×12+2π×1×3=10π,

该组合体的体积V=43πr3+πr2l=43π×13+π×12×