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6.1柱、锥、台的侧面展开与面积
必备知识基础练
1.侧面都是等腰直角三角形的正三棱锥,当底面边长为a时,该三棱锥的表面积是()
A.3+34a2 B.3
C.3+32a2 D.6+
2.若圆台的高为3,一个底面半径是另一个底面半径的2倍,其轴截面的一个底角为45°,则这个圆台的侧面积是()
A.27π B.272π
C.92π D.362π
3.(多选)等腰直角三角形直角边长为1,现将该三角形绕其某一边旋转一周,则所形成的几何体的表面积可以为()
A.2π B.(1+2)π
C.22π D.2+2π
4.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,三棱锥D1-AB1C的表面积与正方体的表面积的比为()
A.1∶1 B.1∶2 C.1∶3 D.1∶2
5.如图,底面为菱形的直棱柱ABCD-A1B1C1D1的两个对角面ACC1A1和BDD1B1的面积分别为6和8,则棱柱的侧面积为.?
6.一个圆台的母线长为12cm,两底面积分别为4πcm2和25πcm2,则圆台的高为cm;截得此圆台的圆锥的母线长为cm.?
关键能力提升练
7.将表面积为36π的圆锥沿母线将其侧面展开,得到一个圆心角为2π3
A.183 B.182 C.123 D.243
8.鲁班锁(也称孔明锁、难人木)起源于古代中国建筑的榫卯结构.这种三维的拼插器具内部的凹凸部分(即榫卯结构)啮合,十分巧妙.鲁班锁类玩具比较多,形状和内部的构造各不相同,一般都是易拆难装,如图①,这是一种常见的鲁班锁玩具,图②是该鲁班锁玩具的直观图.已知该鲁班锁玩具每条棱的长均为2,则该鲁班锁的表面积为()
图①
图②
A.8(6+62+3)
C.8(6+63+2) D.6(8+8
9.在如图所示的斜截圆柱中,已知圆柱底面的直径为40cm,母线最长为80cm,最短为50cm,则斜截圆柱的侧面积S=cm2.?
10.如图,已知正三棱柱ABC-A1B1C1的底面边长是2,D,E是CC1,BC的中点,AE=DE.求:
(1)正三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱长;
(2)正三棱柱ABC-A1B1C1的表面积.
学科素养创新练
11.如图,AB是圆柱的底面直径,PA是圆柱的母线,且AB=PA=2,点C是圆柱底面圆周上的点.
(1)求圆柱的侧面积;
(2)若AC=1,D是PB的中点,点E在线段PA上,求CE+ED的最小值.
答案
1.A因为正三棱锥的侧面为等腰直角三角形,所以斜高h=a2,所以S侧面积=a×a2×12×3=34a2,S底面积=a×32a×12=34a2,所以S表面积=3
2.B设圆台上底半径为r1,下底半径为r2,母线长为l,如图所示,
2r2=2r1+6=4r1,所以r1=3,r2=6.S圆台侧=π(r1+r2)l=π(3+6)×32=272π.
3.AB若绕一条直角边旋转一周时,则圆锥的底面半径为1,高为1,所以母线长l=2,
这时表面积为π×1×l+π×12=(1+2)π;
若绕斜边旋转一周时旋转体由两个圆锥组合而成,且由题意底面半径为22,圆锥的母线长为1,所以表面积S=2π×22×1=
故选AB.
4.C设正方体棱长为a,由题意知,三棱锥的各面都是正三角形,
所以该正三角形的边长为2a,则表面积为4S△AB1D1=4×12×(2a)2
因为正方体的表面积为6a2,
所以三棱锥D1-AB1C的表面积与正方体的表面积的比为23a2∶6a2=1∶3.
5.20设底面边长为x,高为h,则有AC=6h,BD=8
∵底面ABCD为菱形,∴AC与BD互相垂直平分,
∴x2=32h2+42h2=25h
6.31520圆台的轴截面是等腰梯形ABCD,如图所示.
由已知可得上底半径O1A=2cm,下底半径OB=5cm,
又腰长为母线长是AB=12cm,
所以高AM=12
315(cm).
设截得此圆台的圆锥的母线长为l,
则由△SAO1∽△SBO,可得l-
7.B设圆锥的底面半径为r,高为h,母线长为l,则πr2+πrl=36π,化为r2+rl=36,2πr=l·2π3,可得l=3r,解得r=3,l=9,h=l2-r2=62.该圆锥轴截面的面积为1
8.A由题图可知,该鲁班锁玩具可以看成是一个棱长为2+22的正方体截去了8个正三棱锥所余下来的几何体,且被截去的正三棱锥的底面边长为2,侧棱长为2,则该几何体的表面积为S=6×(2+22)2-4×12×2×2+8×1
9.2600π如图,假设还有一个同样的斜截圆柱,
拼在其上面,则构成了一个圆柱,于是S=12S圆柱侧=12×40π×(80+50)=2600π(cm
10.解(1)由题意可得,BE
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