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2022年中考数学冲刺挑战压轴题专题汇编（江西考卷）

03挑战压轴题（解答题一）

1．（2021·江西）如图1，四边形内接于，为直径，过点作于点，连接．

（1）求证：；

（2）若是的切线，，连接，如图2．

①请判断四边形ABCO的形状，并说明理由；

②当AB=2时，求AD，AC与围成阴影部分的面积．

【答案】（1）见解析；（2）四边形ABCO是菱形，理由见解析；（3）阴影部分的面积为．

【解析】

【分析】

（1）利用圆内接四边形的性质证得∠D=∠EBC，再利用圆周角的性质证得∠D+∠CAD=，即可证明∠CAD=∠ECB；

（2）①利用切线的性质得到OC⊥EC，从而证明OC∥AE，再证明∠BAO=∠EBC=60°，推出BC∥AO，即可证明四边形ABCO是菱形；②先计算，再利用扇形的面积公式计算，即可求得阴影部分的面积．

【详解】

（1）证明：∵四边形ABCD内接于⊙O，

∴∠D+∠ABC=，

∵∠EBC+∠ABC=，

∴∠D=∠EBC，

∵AD为⊙O直径，

∴∠ACD=，

∴∠D+∠CAD=，

∵CE⊥AB，

∴∠ECB+∠EBC=，

∴∠CAD=∠ECB；

（2）①四边形ABCO是菱形，理由如下：

∵CE是⊙O的切线，

∴OC⊥EC，

∵AB⊥EC，

∴∠OCE=∠E=，

∴∠OCE+∠E=18，

∴OC∥AE，

∴∠ACO=∠BAC，

∵OA=OC，

∴∠ACO=∠CAD，

∴∠BAC=∠CAD，

∵∠CAD=∠ECB，∠CAD=30°，

∴∠EBC=90°30°=60°，

∴∠BAO=∠EBC=60°，

∴BC∥AO，

∴四边形ABCO是平行四边形，

∵OA=OC，

∴四边形ABCO是菱形；

②∵四边形ABCO是菱形，

∴AO=AB=2，AD=4，

∵∠CAD=30°，

∴CD=AD=2，AC=2，

过点C作CF⊥AD于点F，

∴CF=，

∴，

∵OC∥AE，

∴∠DOC=∠BAO=60°，

∴，

∴阴影部分的面积为．

【点睛】

本题主要考查了切线的性质、菱形的判定和性质以及扇形面积的求法，熟练掌握切线的性质定理以及扇形面积的求法是解答此题的关键．

2．（2020·江西）已知的两边分别与圆相切于点，，圆的半径为．

（1）如图1，点在点，之间的优弧上，，求的度数；

（2）如图2，点在圆上运动，当最大时，要使四边形为菱形，的度数应为多少？请说明理由；

（3）若交圆于点，求第（2）问中对应的阴影部分的周长（用含的式子表示）．

【答案】（1）50°；（2）当∠APB=60°时，四边形APBC为菱形，理由见解析；（3）．

【解析】

【分析】

（1）连接OA、OB，根据切线的性质和多边形内角和定理可得∠AOB+∠APB=180°，然后结合已知求得∠AOB，最后根据圆周角定理即可解答；

（2）连接OA、OB，先观察发现当∠APB=60°时，四边形APBC可能为菱形；然后利用∠APB=60°结合（1）的解答过程可得∠ACB=∠APB=60°，再根据点C运动到PC距离最大，即PC经过圆心；再说明四边形APBC为轴对称图形结合已知条件得到PA=PB=CA=CB，即可得到四边形APBC为菱形；

（3）由于⊙O的半径为r，则OA=r、OP=2r，再根据勾股定理可得AP=r、PD=r，然后根据弧长公式求得的弧长，最后根据周长公式计算即可．

【详解】

解：（1）如图1，连接OA、OB

∵PA，PB为⊙O的切线

∴∠PAO=∠PBO=90°

∴∠AOB+∠MPN=180°

∵∠MPN=80°

∴∠AOB=180°∠MPN=100°

∴∠AOB=100°=∠ACB=50°；

（2）当∠APB=60°时，四边形APBC为菱形，理由如下：

如图2：连接OA、OB

由（1）可知∠AOB+∠APB=180°

∵∠APB=60°

∴∠AOB=120°

∴∠ACB=60°=∠APB

∵点C运动到PC距离最大

∴PC经过圆心

∵PA、PB为⊙O的切线

∴四边形APBC为轴对称图形

∵PA=PB，CA=CB，PC平分∠APB和∠ACB.

∴∠APB=∠ACB=60°

∴∠APO=∠BPO=∠ACP=∠BCP=30°

∴PA=PB=CA=CB

∴四边形APBC为菱形；

（3）∵⊙O的半径为r

∴OA=r，OP=2r

∴AP=r，PD=r

∵∠AOP=60°

∴

∴C阴影．

【点睛】

本题考查了圆的切线的性质、圆周角定理、菱形的判定、弧长公式以及有关圆的最值问题，考查知识点较多，灵活应用所学知识是解答本题的关键．

3．（2019·江西）数学活动课上，张老师引导同学进行如下探究：如图1，将长为的铅笔斜靠在垂直于水平桌面的直尺的边沿上，一端固定在桌面上，图2是示意图．

活动一

如图3，将铅笔绕端点顺时针旋转，与交于点，当旋转至水平位置时，铅笔的中点与点